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初中数学三角形全等的解题技巧

时间:2020-05-25 11:05:45 数学 我要投稿

初中数学三角形全等的解题技巧

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  一、三角形全等的判定

  1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。

  2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。

  3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。

  4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。

  5.直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

  二、全等三角形的性质

  ①全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等。

  ②全等三角形的周长、面积相等。

  ③全等三角形的对应边上的高对应相等。

  ④全等三角形的对应角的角平分线相等。

  ⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

  三、找全等三角形的方法

  (1)可以从结论出发,看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中;

  (2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等;

  (3)从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等;

  (4)若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。三角形全等的证明中包含两个要素:边和角。

  缺个角的条件:

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  缺条边的条件:

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  四、构造辅助线的常用方法

  1.关于角平分线的辅助线

  当题目的条件中出现角平分线时,要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

  角平分线具有两条性质:

  ①角平分线具有对称性;

  ②角平分线上的点到角两边的距离相等。

  关于角平分线常用的辅助线方法:

  (1)截取构全等

  如下左图所示,OC是∠AOB的角平分线,D为OC上一点,F为OB上一点,若在OA上取一点E,使得OE=OF,并连接DE,则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

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  例:如上右图所示,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。

  提示:在BC上取一点F使得BF=BA,连结EF。

  (2)角分线上点向角两边作垂线构全等

  利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

  如下左图所示,过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线,垂足为E、F,连接DE、DF。则有:DE=DF,△OED≌△OFD。

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  例:如上右图所示,已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证:∠ADC+∠B=180

  (3)作角平分线的垂线构造等腰三角形

  如下左图所示,从角的一边OB上的一点E作角平分线OC的垂线EF,使之与角的另一边OA相交,则截得一个等腰三角形(△OEF),垂足为底边上的中点D,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。

  如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交,从而得到一个等腰三角形,可总结为:“延分垂,等腰归”。

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  例:如上右图所示,已知∠BAD=∠DAC,AB>AC,CD⊥AD于D,H是BC中点。

  求证:DH=(AB-AC)提示:延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证。

  (4)作平行线构造等腰三角形

  分为以下两种情况:

  ①如下左图所示,过角平分线OC上的一点E作角的一边OA的平行线DE,从而构造等腰三角形ODE。

  ②如下右图所示,通过角一边OB上的点D作角平分线OC的平行线DH与另外一边AO的反向延长线相交于点H,从而构造等腰三角形ODH。

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  2.由线段和差想到的辅助线

  遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法:

  ①截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;

  ②补短:将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。截长补短法作辅助线。

  01

  在△ABC中,AD平分∠BAC,∠ACB=2∠B,求证:AB=AC+CD。

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  因为AD是∠BAC的角平分线

  所以∠BAD=∠CAD

  在AB上作AE=AC

  又AD=AD

  由SAS得:△EAD≌△CAD

  所以∠EDA=∠CDA,ED=CD

  又因为∠CDA=∠B+∠BAD, ∠BDA=∠C+∠CAD, ∠C=2∠B

  所以∠BDE=∠BDA-∠EDA=(∠C+∠CAD)-∠CDA=(2∠B +CAD ) -(∠B+∠BAD)=∠B

  所以△BED为等腰三角形

  所以EB=ED=CD

  所以AB=AE+EB=AC+CD

  02

  对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明。

  在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或延长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明。

  例1:已知如图1-1:D、E为△ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE.

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  (法1)证明:将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N,

  在△AMN中,AM+AN > MD+DE+NE;(1)

  在△BDM中,MB+MD>BD; (2)

  在△CEN中,CN+NE>CE; (3)

  由(1)+(2)+(3)得:AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

  ∴AB+AC>BD+DE+EC

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  (法2)如图1-2, 延长BD交 AC于F,延长CE交BF于G,在△ABF和△GFC和△GDE中有:

  AB+AF> BD+DG+GF (三角形两边之和大于第三边) (1)

  GF+FC>GE+CE(同上) (2)

  DG+GE>DE(同上) (3)

  由(1)+(2)+(3)得:AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

  ∴AB+AC>BD+DE+EC。

  03

  在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的`内角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理:

  例如:如图2-1:已知D为△ABC内的任一点,求证:∠BDC>∠BAC。

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  分析:因为∠BDC与∠BAC不在同一个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三角形,使∠BDC处于在外角的位置,∠BAC处于在内角的位置。

  证法一:延长BD交AC于点E,这时∠BDC是△EDC的外角,

  ∴∠BDC>∠DEC,同理∠DEC>∠BAC,

  ∴∠BDC>∠BAC

  证法二:连接AD,并延长交BC于F

  ∵∠BDF是△ABD的外角

  ∴∠BDF>∠BAD,

  同理,∠CDF>∠CAD

  ∴∠BDF+∠CDF>∠BAD+∠CAD

  即:∠BDC>∠BAC。

  注意:利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明。

  3.由中点想到的辅助线

  在三角形中,如果已知一点是三角形某一边上的中点,那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长中线及其相关性质(等腰三角形底边中线性质),然后通过探索,找到解决问题的方法。

  (1)中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

  即如图1,AD是ΔABC的中线,则SΔABD= SΔACD = 1/2SΔABC(因为ΔABD与ΔACD是等底同高的)。

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  例1 如图2,ΔABC中,AD是中线,延长AD到E,使DE=AD,DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2,求:ΔCDF的面积。

  (2)倍长中线

  已知中点、中线问题应想到倍长中线,由中线的性质可知,一条中线将中点所在的线段平分,可得到一组等边,通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角,因而可以得到一组全等三角形。

  如图,延长AD到E,使得AD=AE,连结BE

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  4.其他辅助线做法

  (1)延长已知边构造三角形

  在一些求证三角形问题中,延长某两条线段(边)相交,构成一个封闭的图形,可找到更多的相等关系,有助于问题的解决.

  例4.如图4,在△ABC中,AC=BC,∠B=90°,BD为∠ABC的平分线.若A点到直线BD的距离AD为a,求BE的长.

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  延长AD、BC交于F,

  ∵∠DAE+∠AED=90°,∠CBE+∠BEC=90°,∠AED=∠BEC,

  ∴∠DAE=∠CBE,

  又∵∠ACF=∠BCE=90°,AC=BC,

  ∴△ACF≌△BCE,

  ∴BE=AF,

  ∵∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90°,BD=BD,

  ∴△ABD≌△FBD,

  ∴AD=FD=1/2AF, AD为a∴BE=2a

  (2)连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。

  例如:如图8-1:AB∥CD,AD∥BC 求证:AB=CD。

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  分析:图为四边形,我们只学了三角形的有关知识,必须把它转化为三角形全等来解决。

  (3)连接已知点,构造全等三角形

  例如:已知:如图10-1;AC、BD相交于O点,且AB=DC,AC=BD,求证:∠A=∠D。

初中数学学习技巧:三角形全等的判定+性质+辅助线技巧

  分析:要证∠A=∠D,可证它们所在的三角形△ABO和△DCO全等,而只有AB=DC和对顶角两个条件,差一个条件,,难以证其全等,只有另寻其它的三角形全等,由AB=DC,AC=BD,若连接BC,则△ABC和△DCB全等,所以,证得∠A=∠D。

  (4)取线段中点构造全等三角形

  例如:如图11-1:AB=DC,∠A=∠D 求证:∠ABC=∠DCB。

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  分析:由AB=DC,∠A=∠D,想到如取AD的中点N,连接NB,NC,再由SAS公理有△ABN≌△DCN,故BN=CN,∠ABN=∠DCN。下面只需证∠NBC=∠NCB,再取BC的中点M,连接MN,则由SSS公理有△NBM≌△NCM,所以∠NBC=∠NCB。问题得证。