数学复习知识点归纳【推荐】
上学的时候，很多人都经常追着老师们要知识点吧，知识点是指某个模块知识的重点、核心内容、关键部分。哪些知识点能够真正帮助到我们呢？以下是小编帮大家整理的数学复习知识点归纳，希望对大家有所帮助。
数学复习知识点归纳1
1、熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决。在探讨等腰或直角三角形存在时，一定要按照一定的原则，不要遗漏，最后要综合。这是中考数学的注意点之一。
2、讨论点的位置，一定要看清点所在的范围，是在直线上，还是在射线或者线段上。
3、图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论
4、代数式变形中如果有绝对值、平方时，里面的`数开出来要注意正负号的取舍。
5、考查点的取值情况或范围。这部分多是考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.
6、函数题目中如果说函数图象与坐标轴有交点，那么一定要讨论这个交点是和哪一个坐标轴的哪一半轴的交点。这也是中考数学的注意点。
7、由动点问题引出的函数关系，当运动方式改变后(比如从一条线段移动到另一条线段)是，所写的函数应该进行分段讨论。
数学复习知识点归纳2
第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。
主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的.分布的问题，这是第一个板块。
第二：平面向量和三角函数。
重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。难度比较小。
第三：数列。
数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。
第四：空间向量和立体几何。
在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。
第五：概率和统计。
这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一等可能的概率，第二事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。
第六：解析几何。
这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。考生应该掌握它的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是20xx年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。
第七：押轴题。
考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。这是高考所考的七大板块核心的考点。
数学复习知识点归纳3
1、某工作,甲单独干需用15小时完成,乙单独干需用12小时完成,若甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务?
2、某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件?
3、某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅.经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐;同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.
(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐;
(2)若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐?请说明理由.
4、甲乙两件衣服的.成本共500元，商店老板为获取利润，决定将家服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲乙两件服装成本各是多少元?
数学复习知识点归纳4
一、小学数学算术定义定理公式：理解并会应用是关键；
二、小学数学基础运算公式：记准公式并会灵活应用，关键是公式的逆用和变形应用；
三、运用四则运算规则巧算：题型不同，方法不同，抓住特点，灵活应用；
四、小学数学常见几何图形的周长、面积（阴影部分的面积计算是关键）、体积计算公式
公式的推导是关键，并会进行逆用和变形应用；
五、小学数学单位换算公式：
记准进率是关键，大变小乘定律，小变大除定率；
六、小学数学热点问题运算公式（常见奥数题公式）：
重点和难点
1、和差问题的公式：
（和＋差）÷2＝大数（和－差）÷2＝小数
2、和倍问题：
和÷（倍数+1）＝小数小数×倍数＝大数或（和－小数＝大数）
3、差倍问题：
差÷（倍数－1）＝小数小数×倍数＝大数或（小数＋差＝大数）
4、植树问题：
（1）非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：
①如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：
株数＝段数＋1＝全长÷株距+1全长＝株距×（株数－1）株距＝全长÷（株数－1）
②如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：
株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数
③如果在非封闭线路的两端都不要植树，那：株数＝段数－1＝全长÷株距－1
全长＝株距×（株数＋1）株距＝全长÷（株数＋1）
（2）封闭线路上的植树问题的数量关系如下
株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数
5、盈亏问题
一盈一亏问题：（盈＋亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数
两盈问题：（大盈－小盈）÷两次分配量之差＝参加分配的份数
两亏问题：（大亏－小亏）÷两次分配量之差＝参加分配的份数
6、行程问题：
相遇问题：相遇路程＝速度和÷相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间
追及问题：追及路程＝速度差×追及时间追及时间＝追及路程÷速度差
速度差＝追及路程÷追及时间
7、流水问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝（顺流速度＋逆流速度）÷2水流速度＝（顺流速度－逆流速度）÷2
8、浓度问题
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量浓度＝溶质的重量÷溶液的重量×100%
溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
9、销售问题：（利润与折扣问题）
利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100%＝（售出价÷成本－1）×100%涨跌金额＝本金×涨跌百分比折扣＝实际售价÷原售价×100%（折扣＜1）利息＝本金×利率×时间税后利息＝本金×利率×时间×（1－20%）
10、工程问题
工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
以上应用题的类型在往年的.小升初考试中反复出现，要善于从题目中提取有用的信息，弄清各个量之间的关系，并正确解答。
小升初备考建议
针对几年的考题特点和趋势，小学六年级学生20xx年小升初的数学复习应该注意以下几个方面：
1、复习的时候要“博而精”，不能一味的追求“深度”，不能只看重历年来的重要考点。学习最根本的任务是把基础知识掌握透，一味钻研难题、偏题对整式考试的帮助并不大。
2、平时练习、复习的时候要注重综合能力的提升。只会一道题是不行的，要举一反三，推广到一类题；会一类题也不能浅尝辄止，要多看多练多研究，学会把各类型的题和考点点整合在一起，遇到什么问题都能够找到思路。
3、多练多总结，认真对待错题，准备错题集。
数学复习知识点归纳5
数列定义：
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
前n项和公式为：Sn=na1+n（n—1）d/2或Sn=n（a1+an）/2（2）
以上n均属于正整数。
解释说明：
从（1）式可以看出，an是n的一次函数（d≠0）或常数函数（d=0），（n，an）排在一条直线上，由（2）式知，Sn是n的二次函数（d≠0）或一次函数（d=0，a1≠0），且常数项为0。
在等差数列中，等差中项：一般设为Ar，Am+An=2Ar，所以Ar为Am，An的'等差中项，且为数列的平均数。
且任意两项am，an的关系为：an=am+（n—m）d
它可以看作等差数列广义的通项公式。
推论公式：
从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an—1=a3+an—2=…=ak+an—k+1，k∈{1，2，…，n}
若m，n，p，q∈N_，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq，Sm—1=（2n—1）an，S2n+1=（2n+1）an+1，Sk，S2k—Sk，S3k—S2k，…，Snk—S（n—1）k…或等差数列，等等。
基本公式：
和=（首项+末项）×项数÷2
项数=（末项—首项）÷公差+1
首项=2和÷项数—末项
末项=2和÷项数—首项
末项=首项+（项数—1）×公差
数学复习知识点归纳6
一、间断点求极限
1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限；
2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限 存在；
3、渐近线，（垂直、水平或斜渐近线）；
4、多元函数积分学，二重极限的`讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。
二、下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。
（一）重要题型及点拨
1、求数列极限
求数列极限可以归纳为以下三种形式。
2、抽象数列求极限
这类题一般以选择题的形式出现， 因此可以通过举反例来排除。 此外，也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。
（二）求具体数列的极限，可以参考以下几种方法：
a、利用单调有界必收敛准则求数列极限。
首先，用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性，进而确定极限存在性；其次，通过递推关系中取极限，解方程， 从而得到数列的极限值。
b、利用函数极限求数列极限
如果数列极限能看成某函数极限的特例，形如，则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限，此时再用洛必达法则求解。
（三）求项和或项积数列的极限，主要有以下几种方法：
a、利用特殊级数求和法
如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式，那么通过整理可以直接得出极限结果。
b、利用幂级数求和法
若可以找到这个级数所对应的幂级数，则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出，再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值。
c、利用定积分定义求极限
若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项可用一个通项表示， 则可以考虑用定积分定义求解数列极限。
d、利用夹逼定理求极限
若数列每一项都可以提出一个因子，剩余的项不能用一个通项表示，但是其余项是按递增或递减排列的，则可以考虑用夹逼定理求解。
e、求项数列的积的极限
一般先取对数化为项和的形式，然后利用求解项和数列极限的方法进行计算。
数学复习知识点归纳7
一、求动点的轨迹方程的基本步骤
⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;
⒉写出点M的集合;
⒊列出方程=0;
⒋化简方程为最简形式;
⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的.轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
直译法：求动点轨迹方程的一般步骤
①建系建立适当的坐标系;
②设点设轨迹上的任一点P(x，y);
③列式列出动点p所满足的关系式;
④代换依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;
⑤证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
数学复习知识点归纳8
（1）定义：
对于函数y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的实数x叫做函数y=f（x）（x∈D）的零点。
（2）函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：
方程f（x）=0有实数根？函数y=f（x）的图象与x轴有交点？函数y=f（x）有零点。
（3）函数零点的判定（零点存在性定理）：
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根。
二二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象与零点的关系
三二分法
对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的'零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
1、函数的零点不是点：
函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实数根，也就是函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点。在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标。
2、对函数零点存在的判断中，必须强调：
（1）、f（x）在[a，b]上连续；
（2）、f（a）·f（b）<0；
（3）、在（a，b）内存在零点。
这是零点存在的一个充分条件，但不必要。
3、对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。
利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续不断，再看是否有f（a）·f（b）<0。若有，则函数y=f（x）在区间（a，b）内必有零点。
四判断函数零点个数的常用方法
1、解方程法：
令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。
2、零点存在性定理法：
利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点。
3、数形结合法：
转化为两个函数的图象的交点个数问题。先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数。
已知函数有零点（方程有根）求参数取值常用的方法
1、直接法：
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围。
2、分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决。
3、数形结合法：
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解。
数学复习知识点归纳9
一 常用的数量关系式
1 每份数×份数=总数 总数÷每份数=份数 总数÷份数=每份数
2 1倍数×倍数=几倍数 几倍数÷1倍数=倍数 几倍数÷倍数=1倍数
3 速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度
4 单价×数量=总价 总价÷单价=数量 总价÷数量=单价
5 工作效率×工作时间=工作总量 工作总量÷工作效率=工作时间 工作总量÷工作时间=工作效率
6 加数+加数=和 和-一个加数=另一个加数
7 被减数-减数=差 被减数-差=减数 差+减数=被减数
8 因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数
9 被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数
二 小学数学图形计算公式 1 正方形 (C：周长 S：面积 a：边长)
周长=边长×4 C=4a
面积=边长×边长 S=a×a 2 正方体 (V:体积 a:棱长 )
表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6
体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a
3 长方形( C：周长 S：面积 a：边长 )
周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)
面积=长×宽 S=ab
4 长方体 (V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高)
(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)
(2)体积=长×宽×高 V=abh
5 三角形 (s：面积 a：底 h：高) 面积=底×高÷2 s=ah÷2
三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高
6 平行四边形 (s：面积 a：底 h：高) 面积=底×高 s=ah
7 梯形 (s：面积 a：上 底 b：下底 h：高) 面积=(上 底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2
8 圆形 (S：面积 C：周长 л d=直径 r=半径) (1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×л
9 圆柱体 (v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长) (1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2
(3)体积=底面积×高 (4)体积=侧面积÷2×半径
10 圆锥体 (v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径) 体积=底面积×高÷3
11 总数÷总份数=平均数
12 和差问题的公式 (和+差)÷2=大数 (和-差)÷2=小数
13 和倍问题 和÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 (或者 和-小数=大数)
14 差倍问题 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 (或 小数+差=大数)
15 相遇问题 相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间
16 浓度问题 溶质的分量+溶剂的分量=溶液的分量 溶质的分量÷溶液的分量×100%=浓度 溶液的分量×浓度=溶质的分量 溶质的分量÷浓度=溶液的分量
17 利润与折扣问题 利润=售出价-成本 利润率=利润÷成本×100%=(售出价÷成本-1)×100% 涨跌金额=本金×涨跌百分比 利息=本金×利率×时间 税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)
三 常用单位换算 1 长度单位换算 1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米 面积单位换算 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米
2 体(容)积单位换算 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升 分量单位换算 1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤 人民币单位换算 1元=10角 1角=10分 1元=100分
3 时间单位换算 1世纪=100年 1年=12月 大月(31天)有 :1/3/5/7/8/10/12月 小月(30天)的有 :4/6/9/11月 平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时
1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒
4 基本概念
第一章 数和数的运算
一 概念
(一)整数
1 整数的意义
自然数和0都是整数。
2 自然数
我们在 数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。
一个物体也没有 ，用0表示。0也是自然数。
3计数单位
一(个) 十 百 千 万 十万 百万 千万 亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。
4 数位
计数单位按照一定的顺序罗列起来，它们所占的位置叫做数位。
5数的整除
整数a除以整数b(b ≠ 0)，除得的商是整数而没有 余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
假如数a能被数b(b ≠ 0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数(或a的因数)。倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
一个数的约数的个数是有 限的，其 中最小的约数是1，最大的 约数是它本身。例如：10的约数有 1 2 5 10，其 中最小的约数是1，最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其 中最小的倍数是它本身。3的倍数有 ：3 6 9 12……其 中最小的倍数是3 ，没有 最大的倍数。
个位上 是0 2 4 6 8的数，都能被2整除，例如：202 480 304，都能被2整除。。
个位上 是0或5的数，都能被5整除，例如：5 30 405都能被5整除。。
一个数的各位上 的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12 108 204都能被3整除。
一个数各位数上 的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4(或25)整除，这个数就能被4(或25)整除。例如：16 404 1256都能被4整除，50 325 500 1675都能被25整除。
一个数的末三位数能被8(或125)整除，这个数就能被8(或125)整除。例如：1168 4600 5000 12344都能被8整除，1125 13375 5000都能被125整除。
能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
一个数，假如惟独 1和它本身两个约数，这样的数叫做质数(或素数)，100以内的质数有 ：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97。
一个数，假如除了 1和它本身还有 别的约数，这样的数叫做合数，例如 4 6 8 9 12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了 1外，不是质数就是合数。假如把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数 合数和1。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其 中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如把28分解质因数
几个数公有 的约数，叫做这几个数的公约数。其 中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有 1 2 3 4 6 12;18的约数有 1 2 3 6 9 18。其 中，1 2 3 6是12和1 8的公约数，6是它们的最大公约数。
公约数惟独 1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有 下列几种情况：
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
两个合数的公约数惟独 1时，这两个合数互质，假如几个数 中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
假如较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
假如两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
几个数公有 的倍数，叫做这几个数的公倍数，其 中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有 2 4 6 8 10 12 14 16 18 ……
3的倍数有 3 6 9 12 15 18 …… 其 中6 12 18……是2 3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。
假如较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
假如两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有 限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
(二)小数
1 小数的意义
把整数1平均分成10份 100份 1000份…… 得到的十分之几 百分之几 千分之几…… 可以用小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……
一个小数由整数部分 小数部分和小数点部分组成。数 中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。
在 小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2小数的分类
纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 0.368 都是纯小数。
带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 5.26 都是带小数。
有 限小数：小数部分的数位是有 限的小数，叫做有 限小数。 例如： 41.7 25.3 0.23 都是有 限小数。
无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……
无限不循环小数：一个数的小数部分，数字罗列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：∏
循环小数：一个数的小数部分，有 一个数字或者几个数字依次不断重复呈现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……
一个循环小数的小数部分，依次不断重复呈现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循环节是“ 54 ” 。
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 例如： 3.111 …… 0.5656 ……
混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 3.1222 …… 0.03333 ……
写循环小数的时候，为了 简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在 这个循环节的首 末位数字上 各点一个圆点。假如循环 节惟独 一个数字，就只在 它的上 面点一个点。例如： 3.777 …… 简写作 0.5302302 …… 简写作 。
(三)分数
1 分数的意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在 分数里， 中间的横线叫做分数线;分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份;分数线下面的数叫做分子，表示有 这样的多少份。
把单位“1”平均分成若干份，表示其 中的一份的数，叫做分数单位。
2 分数的分类
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。
带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
3 约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子 分母都比较小的分数 ，叫做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
(四)百分数
1 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。
二 方法
(一)数的读法和写法
1. 整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级 万级时，先按照个级的读法去读，再在 后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位持续有 几个0都只读一个零。
2. 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上 一个单位也没有 ，就在 那个数位上 写0。
3. 小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上 的数字。
4. 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在 个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上 的数字。
5. 分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。
6. 分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。
7. 百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。
8. 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在 原来的分子后面加上 百分号“%”来表示。
(二)数的改写
一个较大的多位数，为了 读写方便，经常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有 时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。
1. 准确数：在 实际生活 中，为了 计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。 例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万;改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。
2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。 例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。
3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上 的数是4 或者比4小，就把尾数去掉;假如尾数的最高位上 的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。
4. 大小比较
1. 比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，假如位数相同，就看最高位，最高位上 的数大，那个数就大;最高位上 的数相同，就看下一位，哪一位上 的数大那个数就大。
2. 比较小数的大小：先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大;整数部分相同的，十分位上 的数大的那个数就大;十分位上 的数也相同的，百分位上 的数大的那个数就大……
3. 比较分数的大小:分母相同的分数，分子大的分数比较大;分子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。
(三)数的互化
1. 小数化成分数：原来有 几位小数，就在 1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。
2. 分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有 限小数，有 的不能除尽，不能化成有 限小数的，一般保留三位小数。
3. 一个最简分数，假如分母 中除了 2和5以外，不含有 其他的质因数，这个分数就能化成有 限小数;假如分母 中含有 2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有 限小数。
4. 小数化成百分数：只要把小数点向右挪移两位，同时在 后面添上 百分号。
5. 百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左挪移两位。
6. 分数化成百分数：通常先把分数化成小数(除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。
7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
(四)数的整除
1. 把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
2. 求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数持续去除，一直除到所得的商惟独 公约数1为止，然后把所有 的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数 。
3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数(或其 中的部分数)的公约数去除，一直除到互质(或两两互质)为止，然后把所有 的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
4. 成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质 ; 相邻的两个自然数互质; 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质; 两个合数的公约数惟独 1时，这两个合数互质。
(五) 约分和通分
约分的方法：用分子和分母的公约数(1除外)去除分子 分母;通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
三 性质和规律
(一)商不变的规律
商不变的规律：在 除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。
(二)小数的性质
小数的性质：在 小数的末尾添上 零或者去掉零小数的大小不变。
(三)小数点位置的挪移引起小数大小的变化
1. 小数点向右挪移一位，原来的数就扩大10倍;小数点向右挪移两位，原来的数就扩大100倍;小数点向右挪移三位，原来的数就扩大1000倍……
2. 小数点向左挪移一位，原来的数就缩小10倍;小数点向左挪移两位，原来的数就缩小100倍;小数点向左挪移三位，原来的数就缩小1000倍……
3. 小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位。
(四)分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(零除外)，分数的大小不变。
(五)分数与除法的关系
1. 被除数÷除数= 被除数/除数
2. 因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。
3. 被除数 相当于分子，除数相当于分母。
四 运算的意义
(一)整数四则运算
1整数加法：
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在 加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。
加数+加数=和 一个加数=和-另一个加数
2整数减法：
已知两个加数的和与其 中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。
在 减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
3整数乘法：
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在 乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。
在 乘法里，0和任何数相乘都得0. 1和任何数相乘都的任何数。
一个因数× 一个因数 =积 一个因数=积÷另一个因数
4 整数除法：
已知两个因数的积与其 中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。
在 除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算。
在 除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。
被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=商×除数
(二)小数四则运算
1. 小数加法：
小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。
2. 小数减法：
小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其 中的一个加数，求另一个加数的运算.
3. 小数乘法：
小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算;一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几 百分之几 千分之几……是多少。
4. 小数除法：
小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其 中一个因数，求另一个因数的运算。
5. 乘方:
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 × 3 =32
(三)分数四则运算
1. 分数加法：
分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数的运算。
2. 分数减法：
分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其 中的一个加数，求另一个加数的运算。
3. 分数乘法：
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。
4. 乘积是1的两个数叫做互为倒数。
5. 分数除法：
分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其 中一个因数，求另一个因数的运算。
(四)运算定律
1. 加法交换律：
两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。
2. 加法结合律：
三个数相加，先把前两个数相加，再加上 第三个数;或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即(a+b)+c=a+(b+c) 。
3. 乘法交换律：
两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。
4. 乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数;或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。
5. 乘法分配律：
两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。
6. 减法的性质：
从一个数里持续减去几个数，可以从这个数里减去所有 减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。
(五)运算法则
1. 整数加法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上 的数相加满十，就向前一位进一。
2. 整数减法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上 的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上 的数合并在 一起，再减。
3. 整数乘法计算法则：
先用一个因数每一位上 的数分别去乘另一个因数各个数位上 的数，用因数哪一位上 的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。
4. 整数除法计算法则：
先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位; 假如不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在 哪一位的上 面。假如哪一位上 不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。
5. 小数乘法法则：
先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数 中共有 几位小数，就从积的右边起数出几位，点上 小数点;假如位数不够，就用“0”补足。
6. 除数是整数的小数除法计算法则：
先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐;假如除到被除数的末尾仍有 余数，就在 余数后面添“0”，再继续除。
7. 除数是小数的除法计算法则：
先挪移除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右挪移几位(位数不够的补“0”)，然后按照除数是整数的除法法则进行计算。
8. 同分母分数加减法计算方法:
同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
9. 异分母分数加减法计算方法:
先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
10. 带分数加减法的计算方法:
整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
11. 分数乘法的计算法则:
分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变;分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
12. 分数除法的计算法则:
甲数除以乙数(0除外)，等于甲数乘乙数的倒数。
(六) 运算顺序
1. 小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
2. 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3. 没有 括号的混合运算:
同级运算从左往右依次运算;两级运算 先算乘 除法，后算加减法。
4. 有 括号的混合运算:
先算小括号里面的，再算 中括号里面的，最后算括号外面的。
5. 第一级运算：
加法和减法叫做第一级运算。
6. 第二级运算：
乘法和除法叫做第二级运算。
五 应用
(一)整数和小数的应用
1 简单应用题
(1) 简单应用题：只含有 一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题，通常叫做简单应用题。
(2) 解题步骤：
a 审题理解题意：了 解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。读题时，不丢字不添字边读边思量，弄明白题 中每句话的意思。也可以复述条件和问题，帮助理解题意。
b选择算法和列式计算：这是解答应用题的 中心工作。从题目 中告诉什么，要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量关系，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。
C检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意。假如发明错误，立即 改正。
2 复合应用题
(1)有 两个或两个以上 的基本数量关系组成的，用两步或两步以上 运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。
(2)含有 三个已知条件的两步计算的应用题。
求比两个数的和多(少)几个数的应用题。
比较两数差与倍数关系的应用题。
(3)含有 两个已知条件的两步计算的应用题。
已知两数相差多少(或倍数关系)与其 中一个数，求两个数的和(或差)。
已知两数之和与其 中一个数，求两个数相差多少(或倍数关系)。
(4)解答连乘连除应用题。
(5)解答三步计算的应用题。
(6)解答小数计算的应用题：小数计算的加法 减法 乘法和除法的应用题，他们的数量关系 结构 和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在 已知数或未知数 中间含有 小数。
d答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。
( 3 ) 解答加法应用题：
a求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是多少。
b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙数是多少。
(4 ) 解答减法应用题：
a求剩余的应用题：从已知数 中去掉一部分，求剩下的部分。
-b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。
c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，，乙数比甲数少多少，求乙数是多少。
(5 ) 解答乘法应用题：
a求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。
b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一个数是它的几倍，求另一个数是多少。
( 6) 解答除法应用题：
a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的，求每一份是多少。
b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可以分成几份。
C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大数是较小数的几倍。
d已知一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。
(7)常见的数量关系：
总价= 单价×数量
路程= 速度×时间
工作总量=工作时间×工效
总产量=单产量×数量
3 典型应用题
具有 独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应用题。
(1)平均数问题：平均数是等分除法的发展。
解题要害：在 于确定总数量和与之相对应的总份数。
算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。
加权平均数：已知两个以上 若干份的平均数，求总平均数是多少。
数量关系式 (部分平均数×权数)的总和÷(权数的和)=加权平均数。
差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。
数量关系式：(大数-小数)÷2=小数应得数 最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数 最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。
例：一辆汽车以每小时100 千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。
分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100 ，所用的时间为 ，汽车从乙地到甲地速度为60 千米，所用的时间是 ，汽车共行的时间为 + = , 汽车的平均速度为 2 ÷ =75 (千米)
(2) 归一问题：已知相互关联的两个量，其 中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。
根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。
根据球痴单一量之后，解题采纳乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。
一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。”
两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。”
正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。
反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。
解题要害：从已知的一组对应量 中用等分除法求出一份的数量(单一量)，然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。
数量关系式：单一量×份数=总数量(正归一)
总数量÷单一量=份数(反归一)
例 一个织布工人，在 七月份织布4774 米， 照这样计算，织布6930 米，需要多少天?
分析：必须先求出平均天天织布多少米，就是单一量。 693 0 ÷( 477 4 ÷ 31 ) =45 (天)
(3)归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量(或单位数量的个数)，通过求总数量求得单位数量的个数(或单位数量)。
特点：两种相关联的量，其 中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。
数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量 = 另一个单位数量 单位数量×单位个数÷另一个单位数量= 另一个单位数量。
例 修一条水渠，原计划天天修800 米， 6 天修完。实际 4 天修完，天天修了 多少米?
分析：因为要求出天天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 (米)
(4) 和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。
解题要害：是把大小两个数的和转化成两个大数的和(或两个小数的和)，然后再求另一个数。
解题规律：(和+差)÷2 = 大数 大数-差=小数
(和-差)÷2=小数 和-小数= 大数
例 某加工厂甲班和乙班共有 工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙班各有 多少人?
分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有 变化，此刻 把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 - 12 ，由此得到此刻 的乙班是( 9 4 - 12 )÷ 2=41 (人)，乙班在 调出 46 人之前应该为 41+46=87 (人)，甲班为 9 4 - 87=7 (人)
(5)和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。
解题要害：找准标准数(即1倍数)一般说来，题 中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数(也可能是几个数)与标准数的倍数关系，再去求另一个数(或几个数)的数量。
解题规律：和÷倍数和=标准数 标准数×倍数=另一个数
例:汽车运输场有 大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有 大货车和小汽车各有 多少辆?
分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在 总数 115 辆内，为了 使总数与( 5+1 )倍对应，总车辆数应( 115-7 )辆 。
列式为( 115-7 )÷( 5+1 ) =18 (辆)， 18 × 5+7=97 (辆)
(6)差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。
解题规律：两个数的差÷(倍数-1 )= 标准数 标准数×倍数=另一个数。
例 甲乙两根绳子，甲绳长63 米，乙绳长29 米，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米? 各减去多少米?
分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多( 3-1 )倍，以乙绳的长度为标准数。列式( 63-29 )÷( 3-1 ) =17 (米)…乙绳剩下的长度， 17 × 3=51 (米)…甲绳剩下的长度， 29-17=12 (米)…剪去的长度。
(7)行程问题：关于走路 行车等问题，一般都是计算路程 时间 速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清晰速度 时间 路程 方向 杜速度和 速度差等概念，了 解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。
解题要害及规律：
同时同地相背而行：路程=速度和×时间。
同时相向而行：相遇时间=速度和×时间
同时同向而行(速度慢的在 前，快的在 后)：追及时间=路程速度差。
同时同地同向而行(速度慢的在 后，快的在 前)：路程=速度差×时间。
例 甲在 乙的后面28 千米，两人同时同向而行，甲每小时行16 千米，乙每小时行9 千米，甲几小时追上 乙?
分析：甲每小时比乙多行( 16-9 )千米，也就是甲每小时可以追近乙( 16-9 )千米，这是速度差。
已知甲在 乙的后面28 千米(追击路程)，28 千米里包含着几个( 16-9 )千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8 ÷ ( 16-9 ) =4 (小时)
(8)流水问题：一般是钻研船在 “流水” 中航行的问题。它是行程问题 中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在 逆行和顺行 中的不同作用。
船速：船在 静水 中航行的速度。
水速：水流动的速度。
顺水速度：船顺流航行的速度。
逆水速度：船逆流航行的速度。
顺速=船速+水速
逆速=船速-水速
解题要害：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。 解题时要以水流为线索。
解题规律：船行速度=(顺水速度+ 逆流速度)÷2
流水速度=(顺流速度逆流速度)÷2
路程=顺流速度× 顺流航行所需时间
路程=逆流速度×逆流航行所需时间
例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行28 千米，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时4 千米。求甲乙两地相距多少千米?
分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流 速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2 小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 284 × 2=20 (千米) 2 0 × 2 =40 (千米) 40 ÷( 4 × 2 ) =5 (小时) 28 × 5=140 (千米)。
(9) 还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。
解题要害：要弄清每一步变化与未知数的关系。
解题规律：从最后结果 出发，采纳与原题 中相反的运算(逆运算)方法，逐步推导出原数。
根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采纳逆运算的方法计算推导出原数。
解答还原问题时注重观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。
例 某小学三年级四个班共有 学生 168 人，假如四班调 3 人到三班，三班调 6 人到二班，二班调 6 人到一班，一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有 学生多少人?
分析：当四个班人数相等时，应为 168 ÷ 4 ，以四班为例，它调给三班 3 人，又从一班调入 2 人，所以四班原有 的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。四班原有 人数列式为 168 ÷ 4-2+3=43 (人)
一班原有 人数列式为 168 ÷ 4-6+2=38 (人);二班原有 人数列式为 168 ÷ 4-6+6=42 (人) 三班原有 人数列式为 168 ÷ 4-3+6=45 (人)。
(10)植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是钻研总路程 株距 段数 棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。
解题要害：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。
解题规律：沿线段植树
棵树=段数+1 棵树=总路程÷株距+1
株距=总路程÷(棵树-1) 总路程=株距×(棵树-1)
沿周长植树
棵树=总路程÷株距
株距=总路程÷棵树
总路程=株距×棵树
例 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是50 米。后来全部改装，只埋了 201 根。求改装后每相邻两根的间距。
分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为 50 ×( 301-1 )÷( 201-1 ) =75 (米)
(11 )盈亏问题：是在 等分除法的基础上 发展起来的。 他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在 两次分配 中，一次有 余，一次不足(或两次都有 余)，或两次都不足)，已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。
解题要害：盈亏问题的解法要点是先求两次分配 中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配 中各次共分物品的差(也称总差额)，用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。
解题规律：总差额÷每人差额=人数
总差额的求法可以分为以下四种情况：
第一次多余，第二次不足，总差额=多余+ 不足
第一次正好，第二次多余或不足 ，总差额=多余或不足
第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余
第一次不足，第二次也不足， 总差额= 大不足-小不足
例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，假如小组 10 人，则多 25 支，假如小组有 12 人，色笔多余 5 支。求每人 分得几支?共有 多少支色铅笔?
分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12 人，比 10 人多 2 人，而色笔多出了 ( 25-5 ) =20 支 ， 2 个人多出 20 支，一个人分得 10 支。列式为( 25-5 )÷( 12-10 ) =10 (支) 10 × 12+5=125 (支)。
(12)年龄问题：将差为一定值的两个数作为题 中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。
解题要害：年龄问题与和差 和倍 差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的`问题，解题时，要善于利用差不变的特点。
例 父亲 48 岁，儿子 21 岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍?
分析：父子的年龄差为 48-21=27 (岁)。由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是( 4-1 )倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍。列式为： 21( 48-21 )÷( 4-1 ) =12 (年)
(13)鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题
解题要害：解答鸡兔问题一般采纳假设法，假设全是一种动物(如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据呈现的腿数差，可推算出某一种的头数。
解题规律：(总腿数-鸡腿数×总头数)÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数
兔子只数=(总腿数-2×总头数)÷2
假如假设全是兔子，可以有 下面的式子：
鸡的只数=(4×总头数-总腿数)÷2
兔的头数=总头数-鸡的只数
例 鸡兔同笼共 50 个头， 170 条腿。问鸡兔各有 多少只?
兔子只数 ( 170-2 × 50 )÷ 2 =35 (只)
鸡的只数 50-35=15 (只)
-
(二)分数和百分数的应用
1 分数加减法应用题：
分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构 数量关系和解题方法基本相同，所不同的只是在 已知数或未知数 中含有 分数。
2分数乘法应用题：
是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题。
特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量。
解题要害：准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应的分率，然后根据一个数乘分数的意义正确列式。
3 分数除法应用题：
求一个数是另一个数的几分之几(或百分之几)是多少。
特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量。求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系。
解题要害：从问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了 “单位一”，谁和单位一的量作比较，谁就作被除数。
甲是乙的几分之几(百分之几):甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙。
甲比乙多(或少)几分之几(百分之几)：甲减乙比乙多(或少几分之几)或(百分之几)。关系式(甲数减乙数)/乙数或(甲数减乙数)/甲数 。
已知一个数的几分之几(或百分之几 ) ,求这个数。
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量。
解题要害：准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际
数量。
4 出勤率
发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%
小麦的出粉率= 面粉的分量/小麦的分量×100%
产品的合格率=合格的产品数/产品总数×100%
职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%
5 工程问题：
是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有 着密切的联系。它是探讨工作总量 工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。
解题要害：把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵便运用公式。
数量关系式：
工作总量=工作效率×工作时间
工作效率=工作总量÷工作时间
工作时间=工作总量÷工作效率
工作总量÷工作效率和=合作时间
6 纳税
纳税就是把根据国家各种税法的有 关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
缴纳的税款叫应纳税款。
应纳税额与各种收入的(销售额 营业额 应纳税所得额 ……)的比率叫做税率。
* 利息
存入银行的钱叫做本金。
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息与本金的比值叫做利率。
利息=本金×利率×时间
-第二章 度量衡
一 长度
(一) 什么是长度
长度是一维空间的度量。
(二) 长度常用单位
* 公里(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm) * 微米(um)
(三) 单位之间的换算
* 1毫米 =1000微米 * 1厘米 =10 毫米 * 1分米 =10 厘米 *1米=1000 毫米 *1千米=1000 米
二 面积
(一)什么是面积
面积，就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。
(二)常用的面积单位
* 平方毫米 * 平方厘米 * 平方分米 * 平方米 * 平方千米
(三)面积单位的换算
* 1平方厘米 =100 平方毫米 * 1平方分米=100平方厘米 * 1平方米 =100 平方分米
* 1公倾 =10000 平方米 * 1平方公里 =100 公顷
三 体积和容积
(一)什么是体积 容积
体积，就是物体所占空间的大小。
容积，箱子 油桶 仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
(二)常用单位
1 体积单位
* 立方米 * 立方分米 * 立方厘米
2 容积单位 * 升 * 毫升
(三)单位换算
1 体积单位
* 1立方米=1000立方分米
* 1立方分米=1000立方厘米
2 容积单位
*1升=1000毫升
*1升=1立方米
* 1毫升=1立方厘米
四 质量
(一)什么是质量
质量，就是表示表示物体有 多重。
(二)常用单位
* 吨 t * 千克 kg * 克 g
(三)常用换算
* 一吨=1000千克
*1千克=1000克
五 时间
(一)什么是时间
是指有 起点和终点的一段时间
(二)常用单位
世纪 年 月 日 时 分 秒
(三)单位换算
* 1世纪=100年
* 1年=365天 平年
* 一年=366天 闰年
* 一 三 五 七 八 十 十二是大月 大月有 31 天
* 四 六 九 十一是小月小月 小月有 30天
* 平年2月有 28天 闰年2月有 29天
* 1天= 24小时
* 1小时=60分
* 一分=60秒
六 货币
(一)什么是货币
货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品。
(二)常用单位
* 元 * 角 * 分
(三)单位换算
* 1元=10角
* 1角=10分
-第三章 代数初步知识
一 用字母表示数
1 用字母表示数的意义和作用
* 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。
2用字母表示常见的数量关系 运算定律和性质 几何形体的计算公式
(1)常见的数量关系
路程用s表示，速度v用表示，时间用t表示，三者之间的关系：
s=vt
v=s/t
t=s/v
总价用a表示，单价用b表示，数量用c表示，三者之间的关系:
a=bc
b=a/c
c=a/b
(2)运算定律和性质
加法交换律：a+b=b+a
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
乘法交换律：ab=ba
乘法结合律：(ab)c=a(bc)
乘法分配律：(a+b)c=ac+bc
减法的性质：a-(b+c) =a-b-c
(3)用字母表示几何形体的公式
长方形的长用a表示，宽用b表示，周长用c表示，面积用s表示。
c=2(a+b)
s=ab
正方形的边长a用表示，周长用c表示，面积用s表示。
c=4a
s=a2
平行四边形的底a用表示，高用h表示，面积用s表示。
s=ah
三角形的底用a表示，高用h表示，面积用s表示。
s=ah/2
梯形的上 底用a表示，下底b用表示，高用h表示， 中位线用m表示，面积用s表示。
s=(a+b)h/2
s=mh
圆的半径用r表示，直径用d表示，周长用c表示，面积用s表示。
c=∏d=2∏r
s=∏ r2
扇形的半径用r表示，n表示圆心角的度数，面积用s表示。
s=∏ nr2/360
长方体的长用a表示，宽用b表示，高用h表示，表面积用s表示，体积用v表示。
v=sh
s=2(ab+ah+bh)
v=abh
正方体的棱长用a表示，底面周长c用表示，底面积用s表示， 体积用v表示.
s=6a2
v=a3
圆柱的高用h表示，底面周长用c表示，底面积用s表示， 体积用v表示.
s侧=ch
s表=s侧+2s底
v=sh
圆锥的高用h表示，底面积用s表示， 体积用v表示.
v=sh/3
3 用字母表示数的写法
数字和字母 字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写，数字要写在 字母的前面。 当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。
在 一个问题 中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。
用含有 字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，假如式子 中有 加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在 括号后面写上 单位的名称。
4将数值代入式子求值
* 把具体的数代入式子求值时，要注重书写格式样本样本：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。
* 同一个式子，式子 中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。
二 简易方程
(一)方程和方程的解
1方程：含有 未知数的等式叫做方程。
注重方程是等式，又含有 未知数，两者缺一不可。
方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在 方程里的未知数可以参加运算，并且惟独 当未知数为特定的数值时 ，方程才成立 。
2 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
三 解方程
解方程，求方程的解的过程叫做解方程。
四 列方程解应用题
1 列方程解应用题的意义
* 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
2 列方程解答应用题的步骤
* 弄清题意，确定未知数并用x表示;
* 找出题 中的数量之间的相等关系;
* 列方程，解方程;
* 检查或验算，写出答案。
3列方程解应用题的方法
* 综合法：先把应用题 中已知数(量)和所设未知数(量)列成有 关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种 思维过程，其思量方向是从已知到未知。
* 分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题 中已知数(量)和所设的未知数(量)列成有 关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思量方向是从未知到已知。
4列方程解应用题的范围
小学范围内常用方程解的应用题：
a一般应用题;
b和倍 差倍问题;
c几何形体的周长 面积 体积计算;
d 分数 百分数应用题;
e 比和比例应用题。
五 比和比例
1比的意义和性质
(1) 比的意义
两个数相除又叫做两个数的比。
“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有 时也可能是整数。
比的后项不能是零。
根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。
(2)比的性质
比的前项和后项同时乘上 或者除以相同的数(0除外)，比值不变，这叫做比的基本性质。
(3) 求比值和化简比
求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前 后项是互质的数。
(4)比例尺
图上 距离：实际距离=比例尺
要求会求比例尺;已知图上 距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上 距离。
线段比例尺：在 图上 附有 一条注有 数目的线段，用来表示和地面上 相对应的实际距离。
(5)按比例分配
在 农业生产和日常生活 中，经常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
2 比例的意义和性质
(1) 比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项， 中间的两项叫做内项。
(2)比例的性质
在 比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。
(3)解比例
根据比例的基本性质，假如已知比例 中的任何三项，就可以求出这个数比例 中的另外一个未知项。求比例 中的未知项，叫做解比例。
3 正比例和反比例
(1) 成正比例的量
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，假如这两种量 中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示y/x=k(一定)
(2)成反比例的量
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，假如这两种量 中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示x×y=k(一定)
第四章 几何的初步知识
一 线和角
(1)线
* 直线
直线没有 端点;长度无限;过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。
* 射线
射线惟独 一个端点;长度无限。
* 线段
线段有 两个端点，它是直线的一部分;长度有 限;两点的连线 中，线段为最短。
* 平行线
在 同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
两条平行线之间的垂线长度都相等。
* 垂线
两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其 中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。
从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。
(2)角
(1)从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
(2)角的分类
锐角：小于90°的角叫做锐角。
直角：等于90°的角叫做直角。
钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。
周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。
二 平面图形
1长方形
(1)特征
对边相等，4个角都是直角的四边形。有 两条对称轴。
(2)计算公式
c=2(a+b)
s=ab
2正方形
(1)特征：
四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有 4条对称轴。
(2)计算公式
c=4a
s=a2
3三角形
(1)特征
由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有 稳定性。三角形有 三条高。
(2)计算公式
s=ah/2
(3) 分类
按角分
锐角三角形 ：三个角都是锐角。
直角三角形 ：有 一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有 一条对称轴。
钝角三角形：有 一个角是钝角。
按边分
不等边三角形：三条边长度不相等。
等腰三角形：有 两条边长度相等;两个底角相等;有 一条对称轴。
等边三角形：三条边长度都相等;三个内角都是60度;有 三条对称轴。
4平行四边形
(1) 特征
两组对边分别平行的四边形。
相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形简单变形。
(2) 计算公式
s=ah
5 梯形
(1)特征
惟独 一组对边平行的四边形。
中位线等于上 下底和的一半。
等腰梯形有 一条对称轴。
(2) 公式
s=(a+b)h/2=mh
6 圆
(1) 圆的熟悉
平面上 的一种曲线图形。
圆 中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。
半径：连接圆心和圆上 任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。
在 同一个圆里，有 无数条半径，每条半径的长度都相等。
通过圆心并且两端都在 圆上 的线段叫做直径。一般用d表示。
同一个圆里有 无数条直径，所有 的直径都相等。
同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。
圆的大小由半径决定。 圆有 无数条对称轴。
(2)圆的画法
把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离(即半径);
把有 针尖的一只脚固定在 一点(即圆心)上 ;
把装有 铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
(3) 圆的周长
围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。
(4) 圆的面积
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
(5)计算公式
d=2r
r=d/2
c=∏d
c=2∏r
s=∏r2
7扇形
(1) 扇形的熟悉
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
圆上 AB两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。
顶点在 圆心的角叫做圆心角。
在 同一个圆 中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有 关。
扇形有 一条对称轴。
(2) 计算公式
s=n∏r2/360
8环形
(1) 特征
由两个半径不相等的同心圆相减而成，有 无数条对称轴。
(2) 计算公式
s=∏(R2-r2)
9轴对称图形
(1) 特征
假如一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在 的这条直线叫做对称轴。
正方形有 4条对称轴， 长方形有 2条对称轴。
等腰三角形有 2条对称轴，等边三角形有 3条对称轴。
等腰梯形有 一条对称轴，圆有 无数条对称轴。
菱形有 4条对称轴，扇形有 一条对称轴。
三 立体图形
(一)长方体
1 特征
六个面都是长方形(有 时有 两个相对的面是正方形)。
相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。
有 8个顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长 宽 高。
两个面相交的边叫做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。
把长方体放在 桌面上 ，最多只能看到三个面。
长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2 计算公式
s=2(ab+ah+bh)
V=sh
V=abh
(二)正方体
1 特征
六个面都是正方形
六个面的面积相等
12条棱，棱长都相等
有 8个顶点
正方体可以看作特殊的长方体
2 计算公式
S表=6a2
v=a3
(三)圆柱
1圆柱的熟悉
圆柱的上 下两个面叫做底面。
圆柱有 一个曲面叫做侧面。
圆柱两个底面之间的距离叫做高 。
进一法：实际 中，使用的材料都要比计算的结果多一些 ，因此，要保留数的时候，省略的位上 的是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。
2计算公式
s侧=ch
s表=s侧+s底×2
v=sh/3
(四)圆锥
1 圆锥的熟悉
圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在 圆锥的顶点上 面，竖直地量出平板和底面之间的距离。
把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 2计算公式
v= sh/3
(五)球
1 熟悉
球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。
球和圆类似，也有 一个球心，用O表示。
从球心到球面上 任意一点的线段叫做球的半径，用r表示，每条半径都相等。
通过球心并且两端都在 球面上 的线段，叫做球的直径，用d表示,每条直径都相等,直径的长度等于半径的2倍，即d=2r。
2 计算公式
- d=2r
-
-第五章 简单的统计
一 统计表
(一)意义
* 把统计数据填写在 一定格式样本样本的表格内，用来反映情况 说明问题，这样的表格就叫做统计表。
(二)组成部分
* 一般分为表分外和表格内两部分。表分外部分包括标的名称，单位说明和制表日期;表格内部包括表头 横标目 纵标目和数据四个方面。
(三)种类
* 单式统计表：只含有 一个项目的统计表。
* 复式统计表：含有 两个或两个以上 统计项目的统计表。
* 百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。
(四)制作步骤
1搜集数据
2整理数据：
要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。
3设计草表：
要根据统计的目的和内容设计分栏格内容 分栏格画法，规定横栏 竖栏各需几格，每格长度。
4 正式制表：
把核对过的数据填入表 中，并根据制表要求，用简单 明确的语言写上 统计表的名称和制表日期。
二 统计图
(一)意义
* 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。
(二)分类
1 条形统计图
用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序罗列起来。
优点：很简单看出各种数量的多少。
注重：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。
取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定;
复式条形统计图 中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在 制图日期下面注明图例。
制作条形统计图的一般步骤:
(1)根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
(2)在 水平射线上 ，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。
(3)在 与水平射线垂直的深线上 根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。
(4)按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。
2 折线统计图
用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。
优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清晰地表示出数量增减变化的情况。
注重：折线统计图的横轴表示不同的年份 月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。
制作折线统计图的一般步骤:
(1)根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
(2)在 水平射线上 ，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。
(3)在 与水平射线垂直的深线上 根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。
(4)按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。
3扇形统计图
用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。
优点：很清晰地表示出各部分同总数之间的关系。
制扇形统计图的一般步骤：
(1)先算出各部分数量占总量的百分之几。
(2)再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。
(3)取适当的半径画一个圆，并按照上 面算出的圆心角的度数，在 圆里画出各个扇形。
(4)在 每个扇形 中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。
数学复习知识点归纳10
1.未定式极限的计算、无穷小比较以及极限的局部逆问题(客观题和解答题必考)
2.判断函数的连续性及间断点的分类(一般考客观题);
3.导数定义及几何意义相关题目(客观题和解答题都可能考);
4.各类函数(包括复合函数、幂指函数、隐函数、参数方程、变上限函数)的求导(客观题和解答题都可能考);
5.利用7个中值定理(零点定理、介值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒定理、积分中值定理)证明等式或不等式(考证明题);
6.利用函数单调性和最值、中值定理证明函数或数值不等式(考证明题);
7.利用函数性态讨论方程的根的个数或曲线交点个数问题(考解答题);
8.判断函数的极值、拐点(客观题和解答题都可能考);
9.求曲线的渐近线或渐近线的.条数(一般考客观题);
10.不定积分和原函数的概念的理解(一般考客观题);
11.不定积分的计算(一般考解答题)：
12.定积分的计算和定积分性质的应用(客观题和解答题都可能考);
13.定积分的几何应用和物理应用的考查(一般考解答题，有时会和其他知识结合考综合题，物理应用仅数一、数二要求)
14.反常积分的计算和判断敛散性(一般考客观题)
数学复习知识点归纳11
初三绝对值数学常见知识点
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
(1)一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
(2)实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
(3)几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零。
注意：│a│≥0，符号"││"是"非负数"的标志;数a的绝对值只有一个;处理任何类型的题目，只要其中有"││"出现，其关键一步是去掉"││"符号。
初三必备二次根式数学考点
1、二次根式
式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”;被开方数a必须是非负数。
2、最简二次根式
若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
(1)如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
(2)如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质
5、二次根式混合运算
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的`(或先去括号)。
初三数学常考二次函数知识点
1.形如y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)。的函数叫做二次函数，它的图像是一条抛物线。
2.二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-b/2a，4ac-b^2/4a)，对称轴是直线x=-b/2a。
3.对于二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，当a>0时，二次函数图像向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。图像与y轴的交点的坐标是(0，c)。
4.一元一次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的解，可以看成函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标。
当b^2-4ac>0时,函数图像与x轴有两个交点。
当b^2-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点。
当b^2-4ac<0时,函数图像与x轴没有交点。
5.当a>0，且x=-b/2a时，函数y=ax^2+bx+c(a≠0)取得最小值，这个值等于4ac-b^2/4a;当a<0，且x=-b/2a时，函数y=ax^2+bx+c(a≠0)取得值，这个值等于4ac-b^2/4a。
6.抛物线y=ax^2+c(a≠0)的对称轴是y轴。
7.对于二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a,b同号，对称轴在y轴右侧a,b异号，对称轴在y轴左侧。
8.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小。
9.对于抛物线y=a(x-m)^2+k，左右平移时，只与m有关，往左是加，往右是减;上下平移时，只与k有关，往上是加，往下是减。
初三数学反比例函数知识点
1.形如y=k/x(k≠0)或y=kx^-1的函数叫做反比例函数，k叫做反比例系数。它的图像是双曲线。^-1表示负一次。
2.在函数y=k/x(k≠0)，当k>0时，表达式中的想x、y符号相同，点(x，y)在第一、三象限，所以函数y=k/x(k≠0)的图像位于第一、三象限;当k<0时，表达式中的想x、y符号相反，点(x，y)在第二、四象限，所以函数y=k/x(k≠0)的图像位于第二、四象限。
3.在y=k/x(k≠0)中，当k>0时，在第一象限内，y随着x的增大而减小;若y的值随着x的值的增大而增大，则k的取值范围是k<0。
4.设P(a，b)是反比例函数y=k/x(k≠0)上任意一点，则ab的值等于k。经过反比例函数上的任意一点P，分别向x轴、y轴作垂线段，则所成的矩形面积为k;过P点向x轴或y轴作垂线段，连接OP，则所成的三角形面积为k/2。
初三数学整式的乘法知识点
1.单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：
①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆;
②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则;
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式;
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用;
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
2.单项式与多项式相乘
单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同;
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号;
③在混合运算时，要注意运算顺序。
3.多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积;
②多项式相乘的结果应注意合并同类项;
③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到。
数学复习知识点归纳12
一、随机事件
主要掌握好（三四五）
（1）事件的三种运算：并（和）、交（积）、差；注意差A—B可以表示成A与B的逆的积。
（2）四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律。
（3）事件的五种关系：包含、相等、互斥（互不相容）、对立、相互独立。
二、概率定义
（1）统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率；（2）古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则事件A所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率；
（3）几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等，则可以将样本空间看成一个几何图形，事件A看成这个图形的'子集，它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算；
（4）公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到[0，1]的映射。
三、概率性质与公式
（1）加法公式：P（A+B）=p（A）+P（B）—P（AB），特别地，如果A与B互不相容，则P（A+B）=P（A）+P（B）；
（2）差：P（A—B）=P（A）—P（AB），特别地，如果B包含于A，则P（A—B）=P（A）—P（B）；
（3）乘法公式：P（AB）=P（A）P（B|A）或P（AB）=P（A|B）P（B），特别地，如果A与B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）；
（4）全概率公式：P（B）=∑P（Ai）P（B|Ai）。它是由因求果，
贝叶斯公式：P（Aj|B）=P（Aj）P（B|Aj）/∑P（Ai）P（B|Ai）。它是由果索因；
如果一个事件B可以在多种情形（原因）A1，A2，...，An下发生，则用全概率公式求B发生的概率；如果事件B已经发生，要求它是由Aj引起的概率，则用贝叶斯公式。
（5）二项概率公式：Pn（k）=C（n，k）p^k（1—p）^（n—k），k=0，1，2，...，n。当一个问题可以看成n重贝努力试验（三个条件：n次重复，每次只有A与A的逆可能发生，各次试验结果相互独立）时，要考虑二项概率公式。
数学复习知识点归纳13
①求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂。在a的n次方中，a叫做底数，n叫做指数。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数(负奇负，负偶正)。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。新- 课- 标-第 -一- 网
②偶次方等于一个正数的值有两个(两个互为相反数)如：a2=4，a=2或a=-2
注意：|a|+b2=0 得：a=0 且 b=0
强记：a0=1(a≠0);(-1)2=1 ;-12=-1;(-1)3=-1;
-13=-1; (-2)2 =4;-22=-4;(-2)3 =-8;-23=-8
③有理数的混合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减;同级运算，
从左到右进行;如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、
大括号依次进行。注意：12-4×5=12-20(不能把-变+)
④把一个大于10的.数表示成a×10的n次方的形式，使用的就是科学计数法，注意a的范围为1≤a n比原整数位减1。(注意科学计数法与原数的互划。
⑤四舍五入到哪一位就是精确到哪一位，四舍五入时望后多看一位采用四舍五入。比如：3.5449精确到0.01就是3.54而不是3.55. (再如： 2.40万：精确到百位;6.5×104精确到千位，有数量级和科学计数法的要还原成原数，看数量级和科学计数法的最后一个数)。
数学复习知识点归纳14
1、圆柱体：
表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h(R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高)
2、圆锥体：
表面积：πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积：πR2h/3(r为圆锥体低圆半径，h为其高，
3、正方体
a—边长，S=6a2，V=a3
4、长方体
a—长，b—宽，c—高S=2(ab+ac+bc)V=abc
5、棱柱
S—底面积h—高V=Sh
6、棱锥
S—底面积h—高V=Sh/3
7、棱台
S1和S2—上、下底面积h—高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3
8、拟柱体
S1—上底面积，S2—下底面积，S0—中截面积
h—高，V=h(S1+S2+4S0)/6
9、圆柱
r—底半径，h—高，C—底面周长
S底—底面积，S侧—侧面积，S表—表面积C=2πr
S底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h
10、空心圆柱
R—外圆半径，r—内圆半径h—高V=πh(R^2—r^2)
11、直圆锥
r—底半径h—高V=πr^2h/3
12、圆台
r—上底半径，R—下底半径，h—高V=πh(R2+Rr+r2)/3
13、球
r—半径d—直径V=4/3πr^3=πd^3/6
14、球缺
h—球缺高，r—球半径，a—球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r—h)/3
15、球台
r1和r2—球台上、下底半径h—高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6
16、圆环体
R—环体半径D—环体直径r—环体截面半径d—环体截面直径
V=2π2Rr2=π2Dd2/4
17、桶状体
D—桶腹直径d—桶底直径h—桶高
V=πh(2D2+d2)/12，(母线是圆弧形，圆心是桶的中心)
V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)
高三数学复习知识点
1、有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。
2、判定两个平面平行的方法：
(1)根据定义--证明两平面没有公共点;
(2)判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面;
(3)证明两平面同垂直于一条直线。
3、两个平面平行的主要性质：
(1)由定义知：“两平行平面没有公共点”;
(2)由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面”;
(3)两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”;
(4)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面;
(5)夹在两个平行平面间的平行线段相等;
(6)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
高三数学知识点
求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
1、直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
2、定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
3、相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的`坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
4、参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
5、交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
求动点轨迹方程的一般步骤：
①建系——建立适当的坐标系;
②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);
③列式——列出动点p所满足的关系式;
④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;
⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
高三数学知识点整理
三角函数其他公式
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π-arccotx
arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)
当x∈[—π/2，π/2]时，有arcsin(sinx)=x
当x∈[0,π],arccos(cosx)=x
x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x
x∈(0，π),arccot(cotx)=x
x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似
若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)
高三数学知识点汇总
一个推导
利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，
同乘q得：qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，
两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn，∴Sn=(q≠1)、
两个防范
(1)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0、
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误、
三种方法
等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若an+1/an=q(q为非零常数)或an/an-1=q(q为非零常数且n≥2且n∈N_)，则{an}是等比数列、
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a=an·an+2(n∈N_)，则数列{an}是等比数列、
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N_)，则{an}是等比数列、
注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列、
数学复习知识点归纳15
十进制计数法：
一（个）、十、百、千、万……都叫做计数单位。其中“一”是计数的基本单位。10个1是10，10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是十。这种计数方法叫做十进制计数法。
整数的读法：
从高位一级一级读，读出级名（亿、万），每级末尾0都不读。其他数位一个或连续几个0都只读一个“零”。
整数的写法：
从高位一级一级写，哪一位一个单位也没有就写0。
四舍五入法：
求近似数，看尾数最高位上的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。
整数大小的比较：
位数多的数较大，数位相同最高位上数大的'就大，最高位相同比看第二位较大就大，以此类推。
小数的读法：
整数部分整数读，小数点读点，小数部分顺序读。
小数的写法：
小数点写在个位右下角。
小数的性质：
小数末尾添0去0大小不变。化简
小数点位置移动引起大小变化：
右移扩大左缩小，1十2百3千倍。
小数大小比较：
整数部分大就大；整数相同看十分位大就大；以此类推。
1、分数的意义：
把单位“ 1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数，叫做分数。在分数里，表示把单位“ 1”平均分成多少份的数，叫做分数的分母；表示取了多少份的数，叫做分数的分子；其中的一份，叫做分数单位。
2、百分数的意义：
表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。也叫百分率或百分比。百分数通常不写成分数的形式，而用特定的“%”来表示。百分数一般只表示两个数量关系之间的倍数关系，后面不能带单位名称。
3、百分数表示两个数量之间的倍比关系，它的后面不能写计量单位。
4、成数：
几成就是十分之几。
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