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高一数学必修一知识点总结

时间：2025-09-25 10:37:54 数学我要投稿

（通用）高一数学必修一知识点总结

　　总结是把一定阶段内的有关情况分析研究，做出有指导性的经验方法以及结论的书面材料，它可以明确下一步的工作方向，少走弯路，少犯错误，提高工作效益，我想我们需要写一份总结了吧。那么你知道总结如何写吗？以下是小编整理的高一数学必修一知识点总结，欢迎阅读与收藏。

（通用）高一数学必修一知识点总结

高一数学必修一知识点总结1

　　几何体和体积具有柱、锥、台、球的结构特征

　　(1)棱柱：

　　几何特征：两个底面是平行于对应边的全等多边形；侧面和对角为平行四边形；侧边平行相等；平行于底面的截面是与底面相等的多边形.

　　(2)棱锥

　　几何特征：侧面和对角为三角形；平行于底面的截面与底面相似，相似比等于从顶点到截面距离和高比的平方.

　　(3)棱台：

　　几何特征：上下底面是相似的平行多边形侧面是梯形侧边交给原棱锥的顶点

　　(4)圆柱:定义:以矩形一侧所在的直线为轴旋转，其侧旋转

　　几何特征:底面为全等圆；母线与轴平行；轴垂直于底圆的半径；侧展图为矩形.

　　(5)圆锥:定义:旋转轴以直角三角形的直角边为旋转轴，旋转一周

　　几何特征：底面为圆；母线交于圆锥的顶点；侧展图为扇形.

　　(6)圆台:定义:旋转轴以垂直直角梯形和底部腰部为旋转轴，旋转一周

　　几何特征：上下底面有两个圆；侧母线交给原圆锥的顶点；侧展图为弓形.

　　(7)球体:定义:以半圆直径直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

　　几何特征:球的截面是圆的；球面上任何一点到球心的距离等于半径.

　　2.空间几何三视图

　　定义三个视图:正视图(光线从几何前面投影到后面)；侧视图(从左到右)

　　俯视图(从上到下)

　　注：正视图反映物体的高度和长度；俯视图反映物体的长度和宽度；侧视图反映物体的高度和宽度.

　　3.空间几何直观图-斜二测绘法

　　斜二测绘法特点：与x轴平行的线段仍与x平行，长度不变；

　　与y轴平行的线段仍与y平行，长度为原来的`一半.

　　4.柱、锥、台的表面积和体积

　　(1)几何体的表面积是几何体各个面积的和.

　　(2)特殊几何体表面积公式(c底部周长，h为高，为斜高，l为母线)

　　(3)柱、锥、台的体积公式

　　总结高中数学必修二知识点:直线和方程

　　(1)直线倾斜角

　　定义：x轴向和直线向上方向之间的角称为直线倾斜角.特别是当直线与x轴平行或重合时，我们将其倾斜角设置为0度.因此，倾斜角的值范围为0°≤α<180°

　　(2)直线斜率

　　定义:倾斜角不是90°直线，倾斜角的正切称为直线的斜率.直线斜率常用k表示.即.斜率反映了直线和轴的倾斜程度.

　　当时，；当时，；当时，.

　　两点以上的直线斜率公式：

　　注意以下四点:(1)当时公式右侧毫无意义，直线斜率不存在，倾斜角90°;

　　(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可以通过直线上两点的坐标直接获得，而不是倾斜角；

　　(4)直线上两点的坐标先求斜率可以获得直线的倾斜角.

　　(3)直线方程

　　点斜：直线斜率k,且过点

　　注：当直线的斜率为0时°时,k=直线方程为y=y1.

　　当直线的斜率为90时°当直线斜率不存在时，其方程不能用点斜表示.但是l上的每一个横坐标都等于x所以它的方程是x=x1.

　　斜截：，直线斜率为k,Y轴上直线的截距为b

　　两点式:()直线两点，截矩式：

　　直线与轴交点，与轴交点，即与轴和轴的截距.

　　一般式：(A,B不全为0)

　　注：各种适用范围的特殊方程，如：

　　(4)平行于x轴的直线:(b为常数)；与y轴平行的直线:(a为常数);

　　(5)直线系方程:即具有一定共同性质的直线

　　(一)平行直线系

　　直线系统平行于已知直线(不全为0):(C为常数)

　　(二)垂直线系

　　直线系垂直于已知直线(不全为0的常数):(C为常数)

　　(3)直线系过定点

　　()直线系斜率为k:，直线过定点；

　　()有两条直线，交点的直线系方程为

　　(参数)直线不在直线系中.

　　(6)两条直线平行垂直

　　注：利用斜率判断直线的平行和垂直时，应注意斜率的存在.

　　(7)两条直线的交点

　　相交

　　交点坐标是方程组的一组解.

　　方程组无解；方程组有无数的解和重叠

　　(8)两点间距公式:平面直角坐标系中的两点

　　(9)点到直线距离公式:点到直线的距离

　　(10)两平行直线距离公式

　　在任何一条直线上任取一点，然后转化为点到直线的距离求解。

高一数学必修一知识点总结2

　　【某些数列前n项和】

　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

　　2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

　　13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1_2+2_3+3_4+4_5+5_6+6_7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

　　正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径

　　余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角

　　弧长公式l=a_r a是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2_l_r

　　乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

　　三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b

　　|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

　　一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

　　根与系数的关系X1+X2=-b/a X1_X2=c/a注：韦达定理

　　【判别式】

　　b2-4ac=0注：方程有两个相等的'实根

　　b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根

　　b2-4ac0时，抛物线开口向上;a0】

　　椭圆公式

　　1、椭圆周长公式：l=2πb+4(a-b)

　　2、椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差.

　　3、椭圆面积公式：s=πab

　　4、椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

高一数学必修一知识点总结3

　　1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.

　　2、圆的方程

　　(1)标准方程,圆心,半径为r;

　　(2)一般方程

　　当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为

　　当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形.

　　(3)求圆方程的方法：

　　一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;

　　另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.

　　3、高中数学必修二知识点总结：直线与圆的位置关系：

　　直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况：

　　(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;

　　(2)过圆外一点的切线：①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】

　　(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2

　　4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.

　　设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.

　　当时两圆外离,此时有公切线四条;

　　当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;

　　当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;

　　当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;

　　当时,两圆内含;当时,为同心圆.

　　注意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线

　　5、空间点、直线、平面的位置关系

　　公理1：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.

　　应用：判断直线是否在平面内

　　用符号语言表示公理1：

　　公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

　　符号：平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a.

　　符号语言：

　　公理2的作用：

　　①它是判定两个平面相交的方法.

　　②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点.

　　③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.

　　公理3：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.

　　推论：一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面.

　　公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据

　　公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

　　学好数学的方法

　　一、课内重视听讲，课后及时复习

　　课堂上特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。

　　首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。认真独立完成作业，勤于思考，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。

　　二、适当多做题，养成良好的解题习惯

　　1、要想学好数学，多做题目是必须的，熟悉掌握各种题型的解题思路。

　　2、刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。

　　3、对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。

　　4、在平时要养成良好的解题习惯。让自己的.精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。

　　高一必修二数学知识大全

　　①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

　　②异面直线性质：既不平行,又不相交.

　　③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

　　④异面直线所成角：作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角.两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.

　　求异面直线所成角步骤：

　　A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角

　　(7)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补.

　　(8)空间直线与平面之间的位置关系

　　直线在平面内——有无数个公共点.

　　三种位置关系的符号表示：aαa∩α=Aa‖α

　　(9)平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点;α‖β

　　相交——有一条公共直线.α∩β=b

　　2、空间中的平行问题

　　(1)直线与平面平行的判定及其性质

　　线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.

　　线线平行线面平行

　　线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行

　　(2)平面与平面平行的判定及其性质

　　两个平面平行的判定定理

　　(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行

　　(线面平行→面面平行),(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.

　　(线线平行→面面平行),(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,两个平面平行的性质定理

　　(1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.(面面平行→线面平行)

　　(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(面面平行→线线平行)

　　3、空间中的垂直问题

　　(1)线线、面面、线面垂直的定义

　　①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.

　　②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直.

　　③平面和平面垂直：如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直.

　　(2)垂直关系的判定和性质定理

　　①线面垂直判定定理和性质定理

　　判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面.

　　性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.

　　②面面垂直的判定定理和性质定理

　　判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.

　　性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.

　　4、空间角问题

　　(1)直线与直线所成的角

　　①两平行直线所成的角：规定为.

　　②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角.

　　③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b平行的直线,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.

　　(2)直线和平面所成的角

　　①平面的平行线与平面所成的角：规定为.②平面的垂线与平面所成的角：规定为.

　　③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.

　　求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作,二证,三计算”.

　　在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息：(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线.

　　(3)二面角和二面角的平面角

　　①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.

　　②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角.

　　③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.

　　两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角

　　④求二面角的方法

　　定义法：在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

　　垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角

高一数学必修一知识点总结4

　　函数的奇偶性

　　（1）偶函数

　　一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（—x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数。

　　（2）奇函数

　　一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（—x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数。

　　注意：

　　1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性，也可能既是奇函数又是偶函数。

　　2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则—x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

　　3、具有奇偶性的函数的图象的特征

　　偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称。

　　总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

　　1、首先确定函数的'定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

　　2、确定f（—x）与f（x）的关系；

　　3、作出相应结论：若f（—x）=f（x）或f（—x）—f（x）=0，则f（x）是偶函数；若f（—x）=—f（x）或f（—x）+f（x）=0，则f（x）是奇函数。

　　注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数。

　　若对称：

　　（1）再根据定义判定；

　　（2）有时判定f（—x）=±f（x）比较困难，可考虑根据是否有f（—x）±f（x）=0或f（x）/f（—x）=±1来判定；

　　（3）利用定理，或借助函数的图象判定。

高一数学必修一知识点总结5

　　指数函数——信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质

　　对数函数——阅读与思考对数的发明

　　探究与发现互为反函数的两个函数图像之间的关系

　　幂函数

　　复习参考题

　　第三章函数的应用

　　函数与方程——阅读与思考中外历史上的方程求解

　　信息技术应用借助信息技术求方程的近似解

　　函数模型及其应用——信息技术应用收集数据并建立函数模型

　　实习作业

　　复习参考题

　　关于数学：

　　课本上讲的定理，你可以自己试着自己去推理。这样不但提高自己的证明能力，也加深对公式的理解。还有就是大量练习题目。基本上每课之后都要做课余练习的题目(不包括老师的作业)。

　　数学成绩的提高，数学方法的掌握都和同学们良好的学习习惯分不开的，因此。良好的数学学习习惯包括：听讲、阅读、探究、作业。听讲：应抓住听课中的主要矛盾和问题，在听讲时尽可能与老师的讲解同步思考，必要时做好笔记。每堂课结束以后应深思一下进行归纳，做到一课一得。

　　阅读：阅读时应仔细推敲，弄懂弄通每一个概念、定理和法则，对于例题应与同类参考书联系起来一同学习，博采众长，增长知识，发展思维。

　　探究：要学会思考，在问题解决之后再探求一些新的方法，学会从不同角度去思考问题，甚至改变条件或结论去发现新问题，经过一段学习，应当将自己的思路整理一下，以形成自己的思维规律。作业：要先复习后作业，先思考再动笔，做会一类题领会一大片，作业要认真、书写要规范，只有这样脚踏实地，一步一个脚印，才能学好数学。

　　总之，在学习数学的过程中，要认识到数学的重要性，充分发挥自己的主观能动性，从小的细节注意起，养成良好的数学学习习惯，进而培养思考问题、分析问题和解决问题的能力，最终把数学学好。

　　到了高中，数学跟初中数学是有很多的不同，对知识的理解能力要求高了，对数学思维的要求也高了，凭以前的方法是不行了。

　　高中数学学习方法一般来讲还是以上课认真听讲为主，抓住课本典型例题理解透了掌握透了才是王道，千万别只顾着看参考书了，那是本末倒置的方法;另外与老师交朋友经常与老师沟通，问问题、请教学习方法都很重要。建立自己的错题档案是杀手锏的一招。

　　总之，是个积累的过程，你了解的越多，学习就越好，所以多记忆，选择自己的方法。

　　有关数学知识点拓展数学(mathematics)，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种。借用《数学简史》的话，数学就是研究集合上各种结构(关系)的科学，可见，数学是一门抽象的学科，而严谨的过程是数学抽象的关键。

　　数学在人类历史发展和社会生活中发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

　　数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献。

　　基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。

　　从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的.进展。但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态。代数学可以说是最为人们广泛接受的“数学”。

　　可以说每一个人从小时候开始学数数起，最先接触到的数学就是代数学。而数学作为一个研究“数”的学科，代数学也是数学最重要的组成部分之一。

　　几何学则是最早开始被人们研究的数学分支。直到16世纪的文艺复兴时期，笛卡尔创立了解析几何，将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起。从那以后，我们终于可以用计算证明几何学的定理;同时也可以用图形来形象的表示抽象的代数方程。而其后更发展出更加精微的微积分。

　　西方最原始math(数学)应用之一，奇普现时数学已包括多个分支。创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派则认为:数学，至少纯数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。他们认为，数学有三种基本的母结构:代数结构(群，环，域，格……)、序结构(偏序，全序 ……)、拓扑结构(邻域，极限，连通性，维数……)。

　　数学被应用在很多不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。

　　数学在这些领域的应用一般被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并促成全新数学学科的发展。数学家也研究纯数学，也就是数学本身，而不以任何实际应用为目标。虽然有许多工作以研究纯数学为开端，但之后也许会发现合适的应用。

　　具体的，有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域:由逻辑、集合论(数学基础)、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、以较近代的对于不确定性的研究(混沌、模糊数学)。就纵度而言，在数学各自领域上的探索亦越发深入。

　　如何学好数学

　　1、重视课本知识

　　对于高一学生来说，大部分数学知识的来源都是课本，只有很少的一部分知识是课外拓展。所以高一学生想要学好数学，就要先把课本知识理解透彻。平时做题的时候，也要以课本为重，把课本上的练习做会了，再做其他题。

　　2、课前预习

　　对很多高一学生来说，还没有养成良好的学习习惯，完全没有课前预习的习惯。但是如果想要学好高一数学，一定要进行适当的预习，如果时间不多，可以浏览一下老师要讲的主要内容，有一个大概的印象。这样在上课的时候，可以更好的跟上老师的思路。

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　　3、记好笔记

　　对于高一学生来说，想要学好数学，记好课堂笔记也是一件很重要的事情。不要以为记笔记是文科生该做的事情，理科同样需要。高一学生要清楚，在这45分钟内，并不是所有的知识点都能掌握的，这个时候要把自己没有理解的知识点记下来，然后课下再去钻研。另外笔记也可以作为考试复习时的参考！

　　4、及时复习

　　想要学好高一数学，及时复习是其中重要的一环。高一学生可以通过反复阅读教材和查找相关资料，来加深自己对基本概念和知识体系的理解和记忆，把自己学到的新知识和旧知识联系起来，进行比较和分析。

高一数学必修一知识点总结6

　　二次函数

　　I.定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II.二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

　　顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]

　　交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

　　h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　III.二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　IV.抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线的交点为抛物线的'顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为

　　P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

　　当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口;当a

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

高一数学必修一知识点总结7

　　一、直线与方程

　　（1）直线的倾斜角

　　定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率

　　①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

　　当0,90时，k0；当90,180时，k0；当90时，k不存在。

　　yy1(x1x2)②过两点的直线的斜率公式：k2x2x1注意下面四点：(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

　　(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程

　　①点斜式：yy1k(xx1)直线斜率k，且过点x1,y1

　　注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

　　当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

　　②斜截式：ykxb，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：④截矩式：

　　yy1y2y1xayxx1x2x1（x1x2,y1y2）直线两点x1,y1，x2,y2

　　1b其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。

　　⑤一般式：AxByC0（A，B不全为0）

　　1各式的适用范围○2特殊的方程如：注意：○

　　平行于x轴的直线：yb（b为常数）；平行于y轴的直线：xa（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系

　　平行于已知直线A0xB0yC00（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：

　　A0xB0yC0（C为常数）

　　（二）过定点的直线系

　　（）斜率为k的直线系：yy0kxx0，直线过定点x0,y0；

　　（）过两条直线l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为

　　，其中直线l2不在直线系中。A1xB1yC1A2xB2yC20（为参数）（6）两直线平行与垂直

　　当l1:yk1xb1，l2:yk2xb2时，l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

　　注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点

　　l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交交点坐标即方程组A1xB1yC10的一组解。

　　A2xB2yC20方程组无解l1//l2；方程组有无数解l1与l2重合（8）两点间距离公式：设A(x1,y1)，B是平面直角坐标系中的两个点，（x2,y2）则|AB|(x2x1)2(y2y1)2

　　（9）点到直线距离公式：一点Px0,y0到直线l1:AxByC0的距离d（10）两平行直线距离公式

　　在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

　　Ax0By0CAB22

　　二、圆的方程

　　1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的

　　半径。

　　2、圆的方程

　　（1）标准方程xaybr2，圆心a,b，半径为r；

　　22（2）一般方程x2y2DxEyF0当DE2224F0时，方程表示圆，此时圆心为22D2,1E，半径为r22D2E24F

　　当DE4F0时，表示一个点；当DE4F0时，方程不表示任何图

　　形。

　　（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

　　另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：

　　直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

　　（1）设直线l:AxByC0，圆C:xa2yb2r2，圆心Ca,b到l的距离为

　　dAaBbCAB222，则有drl与C相离；drl与C相切；drl与C相交

　　22（2）设直线l:AxByC0，圆C:xaybr2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有

　　0l与C相离；0l与C相切；0l与C相交

　　2注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0yy0r去解直线与圆相切的问题，其中x0,y0表示切点坐标，r表示半径。

　　(3)过圆上一点的切线方程：

　　①圆x2+y2=r，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0yy0r(课本命题)．

　　2222

　　②圆(x-a)+(y-b)=r，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的`切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r(课本命题的推广)．

　　4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆C1:xa12yb12r2，C2:xa22yb22R2两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当dRr时两圆外离，此时有公切线四条；

　　当dRr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当RrdRr时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当dRr时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当dRr时，两圆内含；当d0时，为同心圆。

　　三、立体几何初步

　　1、柱、锥、台、球的结构特征

　　（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共

　　边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

　　表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDEA"B"C"D"E"或用对角线的端点字母，如五棱柱

　　"AD

　　几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且

　　相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

　　（2）棱锥

　　定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

　　表示：用各顶点字母，如五棱锥PABCDE

　　几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到

　　截面距离与高的比的平方。

　　（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

　　"""""表示：用各顶点字母，如五棱台PABCDE

　　几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

　　几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图

　　是一个矩形。

　　（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何

　　体

　　几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图

　　定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）

　　注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

　　侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

　　3、空间几何体的直观图斜二测画法

　　斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

　　②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

　　4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

　　（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

　　（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线）

　　S直棱柱侧面积S正棱台侧面积12chS圆柱侧2rhS正棱锥侧面积(c1c2)h"S圆台侧面积(rR)l

　　12ch"S圆锥侧面积rl

　　S圆柱表2rrlS圆锥表rrlS圆台表r2rlRlR2

　　（3）柱体、锥体、台体的体积公式V柱ShV圆柱ShV台13(S""21rhV锥ShV圆锥1r2h

　　33SSS)hV圆台13(S"SSS)h"13(rrRR)h

　　（4）球体的表面积和体积公式：V球4、空间点、直线、平面的位置关系

　　球面=4R2

　　（1）平面

　　①平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；

　　②平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

　　也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

　　③点与平面的关系：点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作Al；

　　直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

　　（即直线在平面内，或者平面经过直线）

　　应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内

　　用符号语言表示公理1：Al,Bl,A,Bl（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

　　推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

　　公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

　　符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

　　符号语言：PABABl,Pl公理3的作用：

　　①它是判定两个平面相交的方法。

　　②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系

　　①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质：既不平行，又不相交。

　　③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。②求异面直线所成角步骤：

　　A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角

　　（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）空间直线与平面之间的位置关系

　　直线在平面内有无数个公共点．

　　三种位置关系的符号表示：aαa∩α＝Aa∥α

　　（9）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点；α∥β

　　相交有一条公共直线。α∩β＝b

　　5、空间中的平行问题

　　（1）直线与平面平行的判定及其性质

　　线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

　　线线平行线面平行

　　线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

　　那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行

　　（1）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理

　　（2）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

　　（线面平行→面面平行），

　　（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行→面面平行），

　　（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理

　　（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）7、空间中的垂直问题

　　（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

　　③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。②面面垂直的判定定理和性质定理

　　判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

　　9、空间角问题

　　（1）直线与直线所成的角

　　①两平行直线所成的角：规定为0。

　　②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线a,b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

　　（2）直线和平面所成的角

　　①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

　　求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

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　　在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射．．．．．线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

　　两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法

　　定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角7、空间直角坐标系

　　（1）定义：如图，OBCDD,A,B,C,是单位正方体.以A为原点，分别以OD,OA,,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

　　1）O叫做坐标原点2）x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

　　（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

　　（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）

　　（4）空间两点距离坐标公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

高一数学必修一知识点总结8

　　解三角形

　　(1)正弦定理和余弦定理

　　掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

　　(2)应用

　　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

　　数列

　　(1)数列的概念和简单表示法

　　①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

　　②了解数列是自变量为正整数的一类函数.

　　(2)等差数列、等比数列

　　①理解等差数列、等比数列的概念.

　　②掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式.

　　③能在具体的问题情境中,识别数列的'等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.

　　④了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.

高一数学必修一知识点总结9

　　空间中的平行关系

　　1、直线与平面平行(核心)

　　定义：直线和平面没有公共点

　　判定：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面(由线线平行得出)

　　性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行

　　2、平面与平面平行

　　定义：两个平面没有公共点

　　判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行

　　性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面;如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

　　3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线

　　空间中的垂直问题

　　(1)线线、面面、线面垂直的定义

　　①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

　　②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

　　③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角)，就说这两个平面垂直。

　　(2)垂直关系的.判定和性质定理

　　①线面垂直判定定理和性质定理

　　判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。

　　性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

　　②面面垂直的判定定理和性质定理

　　判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

　　性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

　　函数的奇偶性

　　(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);

　　(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);

　　(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

　　(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

　　(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

　　复合函数的有关问题

　　(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

　　(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

　　函数图像(或方程曲线的对称性)

　　(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

　　(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;

　　(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

　　(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;

　　(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称,高中数学;

　　(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称。

　　空间角问题

　　（1）直线与直线所成的角

　　①两平行直线所成的角：规定为0。

　　（2）直线和平面所成的角

　　①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。

　　②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。

　　③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

　　求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

　　空间直线与直线之间的位置关系

　　① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

　　② 异面直线性质：既不平行,又不相交.

　　③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

　　④ 异面直线所成角：作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角.两条异面直线所成角的范围是（0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.

高一数学必修一知识点总结10

　　集合的运算

　　1。交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集。

　　记作AB(读作A交B)，即AB={x|xA，且xB}。

　　2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集。记作：AB(读作A并B)，即AB={x|xA，或xB}。

　　3、交集与并集的性质：AA=A，A=，AB=BA，AA=A，A=A，AB=BA。

　　4、全集与补集

　　(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，由S中所有不属于A的'元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

　　(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

　　(3)性质：

　　⑴CU(CUA)=A

　　⑵(CUA)

　　⑶(CUA)A=U

高一数学必修一知识点总结11

　　集合间的基本关系

　　1.“包含”关系—子集

　　注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

　　2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

　　实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

　　结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

　　A?① 任何一个集合是它本身的'子集。A

　　B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)?B,且A?②真子集:如果A

　　C?C ,那么 A?B, B?③如果 A

　　A 那么A=B?B 同时 B?④ 如果A

　　3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　集合的运算

　　1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.

　　记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

　　2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.

　　3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

　　4、全集与补集

　　(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即 )，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

　　A}?S且 x? x?记作： CSA 即 CSA ={x

　　(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

　　(3)性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

高一数学必修一知识点总结12

　　1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

　　解析式

　　顶点坐标

　　对称轴

　　y=ax^2

　　(0，0)

　　x=0

　　y=a(x-h)^2

　　(h，0)

　　x=h

　　y=a(x-h)^2+k

　　(h，k)

　　x=h

　　y=ax^2+bx+c

　　(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)

　　x=-b/2a

　　当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.

　　当h>0，k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;

　　当h>0，k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

　　当h<0，k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

　　当h<0，k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

　　因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

　　2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).

　　3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.

　　4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);

　　(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

　　(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|

　　当△=0.图象与x轴只有一个交点;

　　当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.

　　5.抛物线y=ax^2+bx+c的.最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.

　　6.用待定系数法求二次函数的解析式

　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

　　y=ax^2+bx+c(a≠0).

　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).

　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).

　　7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.

高一数学必修一知识点总结13

　　第一章集合与函数概念

　　一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性

　　说明：

　　(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

　　(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

　　(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

　　(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

　　3、集合的表示：{ … }如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

　　2.集合的表示方法：列举法与描述法。

　　注意啊：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a?A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

　　描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}

　　4、集合的分类：

　　1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝二、集合间的基本关系

　　1.“包含”关系—子集注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

　　结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B ①任何一个集合是它本身的子集。AíA

　　②真子集:如果AíB,且A1 B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

　　③如果AíB, BíC ,那么AíC

　　④如果AíB同时BíA那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}. 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}. 3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

　　4、全集与补集(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)记作：CSA即CSA ={x | x?S且x?A}

　　(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

　　(3)性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ

　　⑶(CUA)∪A=U

　　二、函数的有关概念

　　1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域

　　.注意：2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;

　　3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零;

　　(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的.函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。 3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象. C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2)画法A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

　　(3)作用：1、直观的看出函数的性质; 2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。 4.快去了解区间的概念

　　(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.

　　5.什么叫做映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A B”给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

　　说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应

　　，①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f：A→B来说，则应满足：

　　(Ⅰ)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;

　　(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

　　常用的函数表示法及各自的优点：

　　1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据;

　　2解析法：必须注明函数的定义域;

　　3图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;

　　4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

　　补充一：分段函数(参见课本P24-25)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。

　　分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.

　　(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数;

　　(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.补充二：复合函数如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)称为f、g的复合函数。

　　例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)

　　7.函数单调性

　　(1).增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

　　注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质

　　2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2;当x1

　　(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的

　　(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)

　　定义法：1任取x1，x2∈D，且x1

　　8.函数的奇偶性(1)偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.

　　注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).

　　(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

　　总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

　　1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;

　　2确定f(-x)与f(x)的关系;

　　3作出相应结论：若f(-x) = f(x)或f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x)或f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数.注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.

　　首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定.

　　9、函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. (2).求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时，也可用凑配法;若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

　　10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

　　1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值2利用图象求函数的最大(小)值3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

　　第二章基本初等函数

　　一、指数函数(一)指数与指数幂的运算

　　1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(n th root)，其中>1，且∈ *.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radical exponent)，叫做被开方数(radicand)

　　.当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成± ( >0).

　　由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

　　指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.

　　(二)指数函数及其性质

　　1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential )，其中x是自变量，函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

　　2、指数函数的图象和性质a>1 0

　　(1)在[a，b]上，值域是或;

　　(2)若，则;取遍所有正数当且仅当;

　　(3)对于指数函数，总有;

　　(4)当时，若，则;二、对数函数(一)对数1.对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：( —底数，—真数，—对数式)

　　说明：1注意底数的限制，且; 2 ; 3注意对数的书写格式.两个重要对数：1常用对数：以10为底的对数; 2自然对数：以无理数为底的对数的对数.对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数← →幂底数对数← →指数真数← →幂(二)对数的运算性质如果，且，那么：1 · + ; 2 - ; 3 .注意：换底公式(，且;，且; ).利用换底公式推导下面的结论(1) ;(2) . (二)对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+∞).注意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数. 2对数函数对底数的限制：，且. 2、对数函数的性质：a>1 0

　　(三)幂函数

　　1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1); (2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸; (3)时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法：求函数的零点：1 (代数法)求方程的实数根; 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点：二次函数. 1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点。