数学集合知识点总结
总结是事后对某一阶段的学习、工作或其完成情况加以回顾和分析的一种书面材料,它能够给人努力工作的动力,因此我们要做好归纳,写好总结。总结怎么写才能发挥它的作用呢?下面是小编收集整理的数学集合知识点总结,供大家参考借鉴,希望可以帮助到有需要的朋友。
数学集合知识点总结1
一.知识归纳:
1.集合的有关概念。
1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素
注意:①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件
2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法
3)集合的分类:有限集,无限集,空集。
4)常用数集:N,Z,Q,R,N
2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
1)子集:若对x∈A都有x∈B,则A B(或A B);
2)真子集:A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或 ,且 )
3)交集:A∩B={x| x∈A且x∈B}
4)并集:A∪B={x| x∈A或x∈B}
5)补集:CUA={x| x A但x∈U}
注意:①? A,若A≠?,则? A ;
②若 , ,则 ;
③若 且 ,则A=B(等集)
3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的.符号:(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。
4.有关子集的几个等价关系
①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;
④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。
5.交、并集运算的性质
①A∩A=A,A∩? = ?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪? =A,A∪B=B∪A;
③Cu (A∪B)= CuA∩CuB,Cu (A∩B)= CuA∪CuB;
6.有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。
二.例题讲解:
【例1】已知集合M={x|x=m+ ,m∈Z},N={x|x= ,n∈Z},P={x|x= ,p∈Z},则M,N,P满足关系A) M=N P B) M N=P C) M N P D) N P M
分析一:从判断元素的共性与区别入手。
解答一:对于集合M:{x|x= ,m∈Z};对于集合N:{x|x= ,n∈Z}
对于集合P:{x|x= ,p∈Z},由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数,而6m+1表示被6除余1的数,所以M N=P,故选B。
分析二:简单列举集合中的元素。
解答二:M={…, ,…},N={…, , , ,…},P={…, , ,…},这时不要急于判断三个集合间的关系,应分析各集合中不同的元素。
= ∈N, ∈N,∴M N,又 = M,∴M N,= P,∴N P 又 ∈N,∴P N,故P=N,所以选B。
点评:由于思路二只是停留在最初的归纳假设,没有从理论上解决问题,因此提倡思路一,但思路二易人手。
变式:设集合 , ,则( B )
A.M=N B.M N C.N M D.
解:
当 时,2k+1是奇数,k+2是整数,选B
【例2】定义集合A*B={x|x∈A且x B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为
A)1 B)2 C)3 D)4
分析:确定集合A*B子集的个数,首先要确定元素的个数,然后再利用公式:集合A={a1,a2,…,an}有子集2n个来求解。
解答:∵A*B={x|x∈A且x B}, ∴A*B={1,7},有两个元素,故A*B的子集共有22个。选D。
变式1:已知非空集合M {1,2,3,4,5},且若a∈M,则6?a∈M,那么集合M的个数为
A)5个 B)6个 C)7个 D)8个
变式2:已知{a,b} A {a,b,c,d,e},求集合A.
解:由已知,集合中必须含有元素a,b.
集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.
评析 本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数,所以共有 个 .
【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求实数p,q,r的值。
解答:∵A∩B={1} ∴1∈B ∴12?4×1+r=0,r=3.
∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3}, ∵A∪B={?2,1,3},?2 B, ∴?2∈A
∵A∩B={1} ∴1∈A ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1,∴ ∴
变式:已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B,求实数b,c,m的值.
解:∵A∩B={2} ∴1∈B ∴22+m?2+6=0,m=-5
∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3} ∵A∪B=B ∴
又 ∵A∩B={2} ∴A={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4
∴b=-4,c=4,m=-5
【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B满足:A∪B={x|x>-2},且A∩B={x|1
分析:先化简集合A,然后由A∪B和A∩B分别确定数轴上哪些元素属于B,哪些元素不属于B。
解答:A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1] B,而(-∞,-2)∩B=ф。
综合以上各式有B={x|-1≤x≤5}
变式1:若A={x|x3+2x2-8x>0},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4},A∩B=Φ,求a,b。(答案:a=-2,b=0)
点评:在解有关不等式解集一类集合问题,应注意用数形结合的方法,作出数轴来解之。
变式2:设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若M∩N=N,求所有满足条件的a的集合。
解答:M={-1,3} , ∵M∩N=N, ∴N M
①当 时,ax-1=0无解,∴a=0 ②
综①②得:所求集合为{-1,0, }
【例5】已知集合 ,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q,若P∩Q≠Φ,求实数a的取值范围。
分析:先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解,再利用参数分离求解。
解答:(1)若 , 在 内有有解
令 当 时,所以a>-4,所以a的取值范围是
变式:若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。
解答:
点评:解决含参数问题的题目,一般要进行分类讨论,但并不是所有的问题都要讨论,怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。
数学集合知识点总结2
一、集合有关概念
1、集合的含义
2、集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性如:世界上最高的山
(2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3、集合的表示:{…}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
注意:常用数集及其记法:XKb1、Com
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集:Nx或N+
整数集:Z
有理数集:Q
实数集:R
1)列举法:{a,b,c……}
2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合{x?R|x—3>2},{x|x—3>2}
3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图:
4、集合的分类:
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合
二、集合间的基本关系
1、“包含”关系—子集
注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2、“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设A={x|x2—1=0}B={—1,1}“元素相同则两集合相等”
即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
③如果A?B,B?C,那么A?C
④如果A?B同时B?A那么A=B
3、不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:空集是任何集合的'子集,空集是任何非空集合的真子集。
4、子集个数:
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n—1个真子集,含有2n—1个非空子集,含有2n—1个非空真子集
三、集合的运算
运算类型交集并集补集
定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集、记作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}、
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集、记作:AB(读作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB})、
数学的学习方法
1、养成良好的学习数学习惯。建立良好的学习数学习惯,会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是:多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中,要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言,并永久记忆在自己的脑海中。良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
2、及时了解、掌握常用的数学思想和方法,学好高中数学,需要我们从数学思想与方法高度来掌握它。中学数学学习要重点掌握的的数学思想有以上几个:集合与对应思想,分类讨论思想,数形结合思想,运动思想,转化思想,变换思想。
数学一元二次方程知识点
(1)一元二次方程的定义
等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
注意一下几点:
①只含有一个未知数;
②未知数的最高次数是2;
③是整式方程。
(2)一元二次方程的一般形式
一般形式:
ax2+ bx + c = 0(a ≠0)、
其中,ax2是二次项,a是二次项系数;
bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项。
(3)一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
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