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高一数学必修一知识点笔记

时间：2024-09-25 17:40:46 数学我要投稿

高一数学必修一知识点笔记

　　在我们上学期间，大家都背过不少知识点，肯定对知识点非常熟悉吧！知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。为了帮助大家掌握重要知识点，以下是小编为大家收集的高一数学必修一知识点笔记，欢迎大家分享。

高一数学必修一知识点笔记

高一数学必修一知识点笔记1

　　两角和公式

　　sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

　　cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

　　tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

　　ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

　　倍角公式

　　tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

　　cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

　　半角公式

　　sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

　　cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

　　tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

　　ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

高一数学必修一知识点笔记2

　　简单随机抽样

　　1、总体和样本

　　在统计学中，把研究对象的全体叫做总体，把每个研究对象叫做个体，把总体中个体的总数叫做总体容量，为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：研究，我们称它为样本，其中个体的个数称为样本容量。

　　2、简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。

　　3、简单随机抽样常用的方法：

　　(1)抽签法；

　　⑵随机数表法；

　　⑶计算机模拟法；

　　⑷使用统计软件直接抽取。

　　在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：

　　①总体变异情况；

　　②允许误差范围；

　　③概率保证程度。

　　4、抽签法:

　　(1)给调查对象群体中的每一个对象编号；

　　(2)准备抽签的工具，实施抽签

　　(3)对样本中的每一个个体进行测量或调查

　　例：请调查你所在的'学校的学生做喜欢的体育活动情况。

　　5、随机数表法：

　　例：利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。

高一数学必修一知识点笔记3

　　1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

　　(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.

　　(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.

　　(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.

　　(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.

　　(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.

　　(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.

　　(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.

　　(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.

　　2、求函数的最值与值域的区别和联系

　　求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的`值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.

　　如函数的值域是(0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.

　　3、函数的最值在实际问题中的应用

　　函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.

高一数学必修一知识点笔记4

　　数列的定义

　　按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项。

　　（1）从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列。

　　（2）在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：—1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：—1，1，—1，1，…。

　　（3）数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的.某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f（n），而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f（n）中的n。

　　（4）次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别。如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合。

　　函数的性质：

　　函数的单调性、奇偶性、周期性

　　单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

　　判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）

　　导数法（适用于多项式函数）

　　复合函数法和图像法。

　　应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

　　奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f（x）与f（—x）的关系。f（x）—f（—x）=0f（x）=f（—x）f（x）为偶函数；f（x）+f（—x）=0f（x）=—f（—x）f（x）为奇函数。

　　判别方法：定义法，图像法，复合函数法

　　应用：把函数值进行转化求解。

　　周期性：定义：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+T）=f（x），则T为函数f（x）的周期。

　　其他：若函数f（x）对定义域内的任意x满足：f（x+a）=f（x—a），则2a为函数f（x）的周期。

　　应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

　　证明垂直的方法

　　可以直接证明它们的夹角为90°；证明其它两个角互余。如果是高中生的话，还可以证明两条直线的斜率的乘积等于—1，常见的有：等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边；三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角；在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角；邻补角的平分线互相垂直。

　　垂直，是指一条线与另一条线相交并成直角，这两条直线互相垂直。通常用符号“⊥”表示。

　　设有两个向量a和b，a⊥b的充要条件是a·b=0，即（x1x2+y1y2）=0。

　　对于立体几何中的垂直问题，主要涉及到线面垂直问题与面面垂直问题，而要解决相关的问题，其难点是线面垂直的定义及其对判定定理成立的条件的理解；两平面垂直的判定定理及其运用和对二面角有关概念的理解。

　　①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直一定会出现90°。

　　②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。

　　③点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

　　空间中的垂直问题

　　（1）线线、面面、线面垂直的定义

　　①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。

　　②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

　　③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。

　　（2）垂直关系的判定和性质定理

　　①线面垂直判定定理和性质定理

　　判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

　　②面面垂直的判定定理和性质定理

　　判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

　　性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

高一数学必修一知识点笔记5

　　空间中的平行问题

　　(1)直线与平面平行的判定及其性质

　　线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行.

　　线线平行线面平行

　　线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行

　　(2)平面与平面平行的判定及其性质

　　两个平面平行的`判定定理

　　(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

　　(线面平行→面面平行)，(2)如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行.

　　(线线平行→面面平行)，(3)垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理

　　(1)如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.(面面平行→线面平行)

　　(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行.(面面平行→线线平行)

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　　棱柱：

　　定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

　　表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱

　　几何特征：两底面是对应边平行的`全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

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　　1、函数的最值

　　a、利用二次函数的性质（配方法）求函数的（小）值。

　　b、利用图象求函数的.（小）值。

　　c、利用函数单调性的判断函数的（小）值：

　　如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有值f（b）；

　　如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；

　　2、函数的奇偶性与单调性

　　奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；

　　偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

　　3、判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与0作比较，作商法是与1作比较。

　　4、绝对值函数求最值，先分段，再通过各段的单调性，或图像求最值。

　　5、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f（0）=0，但是f（0）=0并不一定可以判断函数为奇函数。

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　　求函数值域的方法：

　　①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的`取值范围，适合于简单的复合函数;

　　②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;

　　③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;

　　④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);

　　⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;

　　⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;

　　⑦利用对号函数

　　⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。

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　　等比数列性质

　　(1)若m、n、p、q∈N_，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq;

　　(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

　　(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}

　　(4)等比中项：q、r、p成等比数列，则aq·ap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。

　　记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

　　另外，一个各项均为正数的`等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

　　(5)等比数列前n项之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)

　　(6)任意两项am，an的关系为an=am·q’(n-m)

　　(7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。

　　注意：上述公式中a’n表示a的n次方。

高一数学必修一知识点笔记10

　　求定义域的几种情况

　　①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R;

　　②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;

　　③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;

　　④若f(x)是对数函数，真数应大于零。

　　⑤.因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。

　　⑥若f(x)是由几个部分的'数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合;

　　⑦若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题

高一数学必修一知识点笔记11

　　等差数列前n项和公式S的基本性质

　　⑴数列{a}为等差数列的充要条件是：数列{a}的前n项和S可以写成S=an+bn的'形式(其中a、b为常数).

　　⑵在等差数列{a}中,当项数为2n(nN)时,S-S=nd,=;当项数为(2n-1)(n)时,S-S=a,=.

　　⑶若数列{a}为等差数列,则S,S-S,S-S,…仍然成等差数列,公差为.

　　⑷若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别是S、T(n为奇数),则=.

　　⑸在等差数列{a}中,S=a,S=b(n>m),则S=(a-b).

　　⑹等差数列{a}中,是n的一次函数,且点(n,)均在直线y=x+(a-)上.

　　⑺记等差数列{a}的前n项和为S.

　　①若a>0,公差d

　　②若a0,则当a≤0且a≥0时,S最小.

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　　1、等差数列的定义

　　如果一个数列从第2项起，每一项与它的'前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

　　2、等差数列的通项公式

　　若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+（n—1）d。

　　3、等差中项

　　如果A=（a+b）/2，那么A叫做a与b的等差中项。

　　4、等差数列的常用性质

　　（1）通项公式的推广：an=am+（n—m）d（n，m∈N。）。

　　（2）若{an}为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq（m，n，p，q∈N。）。

　　（3）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…（k，m∈N。）是公差为md的等差数列。

　　（4）数列Sm，S2m—Sm，S3m—S2m，…也是等差数列。

　　（5）S2n—1=（2n—1）an。

　　（6）若n为偶数，则S偶—S奇=nd/2；若n为奇数，则S奇—S偶=a中（中间项）。

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　　求函数定义域

　　常见的用解析式表示的函数f(x)的定义域可以归纳如下：

　　①当f(x)为整式时，函数的定义域为R.

　　②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。

　　③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。

　　④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。

　　⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。

　　⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。

　　⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约。

　　正棱锥

　　正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

　　正棱锥的性质：

　　(1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

　　(2)多个特殊的直角三角形

　　a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

　　b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

　　定义：

　　从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行;有无穷多解时，两直线重合;只有一解时，两直线相交于一点。常用直线向上方向与X轴正向的`夹角(叫直线的倾斜角)或该角的正切(称直线的斜率)来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或互相垂直，也可计算它们的交角。直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标，称为直线在该坐标轴上的截距。直线在平面上的位置，由它的斜率和一个截距完全确定。在空间，两个平面相交时，交线为一条直线。因此，在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。

　　表达式：

　　斜截式:y=kx+b

　　两点式:(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)

　　点斜式:y-y1=k(x-x1)

　　截距式:(x/a)+(y/b)=0

　　集合的运算

　　1.交集的定义：一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.

　　记作AB(读作A交B),即AB={x|xA,且xB}.

　　2、并集的定义：一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作：AB(读作A并B),即AB={x|xA,或xB}.

　　3、交集与并集的性质：AA=A,A=,AB=BA,AA=A,A=A,AB=BA.

　　4、全集与补集

　　(1)补集：设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)

　　(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.

　　柱、锥、台、球的结构特征

　　(1)棱柱：

　　定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

　　表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。

　　几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

　　(2)棱锥

　　定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

　　表示：用各顶点字母，如五棱锥

　　几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

　　(3)棱台：

　　定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

　　表示：用各顶点字母，如五棱台

　　几何特征：

　　①上下底面是相似的平行多边形

　　②侧面是梯形

　　③侧棱交于原棱锥的顶点

　　(4)圆柱：

　　定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

　　几何特征：

　　①底面是全等的圆；

　　②母线与轴平行；

　　③轴与底面圆的半径垂直；

　　④侧面展开图是一个矩形。

　　(5)圆锥：

　　定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。

　　几何特征：

　　①底面是一个圆；

　　②母线交于圆锥的顶点；

　　③侧面展开图是一个扇形。

　　(6)圆台：

　　定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

　　几何特征：

　　①上下底面是两个圆；

　　②侧面母线交于原圆锥的顶点；

　　③侧面展开图是一个弓形。

　　(7)球体：

　　定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

　　几何特征：

　　①球的截面是圆；

　　②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

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