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高一数学知识点总结

时间：2024-08-07 08:50:24 数学我要投稿

高一数学知识点总结【优秀15篇】

　　总结是事后对某一时期、某一项目或某些工作进行回顾和分析，从而做出带有规律性的结论，它可以促使我们思考，快快来写一份总结吧。总结一般是怎么写的呢？以下是小编为大家收集的高一数学知识点总结，希望对大家有所帮助。

高一数学知识点总结【优秀15篇】

高一数学知识点总结1

　　一、点、线、面概念与符号

　　平面α、β、γ，直线a、b、c，点A、B、C;

　　A∈a——点A在直线a上或直线a经过点;

　　aα——直线a在平面α内;

　　α∩β= a——平面α、β的交线是a;

　　α∥β——平面α、β平行;

　　β⊥γ——平面β与平面γ垂直.

　　二、点、线、面常用定理

　　1.异面直线判断定理

　　过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线.

　　2.线与线平行的判定定理

　　(1)平行于同一直线的两条直线平行;

　　(2)垂直于同一平面的两条直线平行;

　　(3)如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的.平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行;

　　(4)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行;

　　(5)如果一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线.

　　3.线与线垂直的判定

　　若一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内所有直线.

　　4.线与面平行的判定

　　(1)平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行;

　　(2)若两个平面平行，则在一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面.

高一数学知识点总结2

　　一、集合有关概念

　　1. 集合的含义

　　2. 集合的中元素的三个特性：

　　(1) 元素的确定性,

　　(2) 元素的互异性,

　　(3) 元素的无序性,

　　3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

　　(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。

　　? 注意：常用数集及其记法：

　　非负整数集(即自然数集) 记作：N

　　正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

　　1) 列举法：{a,b,c……}

　　2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

　　3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4) Venn图:

　　4、集合的分类：

　　(1) 有限集含有有限个元素的集合

　　(2) 无限集含有无限个元素的集合

　　(3) 空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝

　　二、集合间的基本关系

　　1.“包含”关系—子集

　　注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

　　反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

　　2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

　　实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

　　即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

　　②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)

　　③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

　　④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B

　　3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　? 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

　　三、集合的运算

　　运算类型交集并集补集

　　定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’)，即A B={x|x A，且x B｝.

　　由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：A B(读作‘A并B’)，即A B ={x|x A，或x B}).

　　设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

　　二、函数的有关概念

　　1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

　　注意：

　　1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

　　求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

　　(1)分式的分母不等于零;

　　(2)偶次方根的被开方数不小于零;

　　(3)对数式的真数必须大于零;

　　(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

　　(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

　　(6)指数为零底不可以等于零，

　　(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

　　相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)

　　2.值域 : 先考虑其定义域

　　(1)观察法

　　(2)配方法

　　(3)代换法

　　3. 函数图象知识归纳

　　(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .

　　(2) 画法

　　A、描点法：

　　B、图象变换法

　　常用变换方法有三种

　　1) 平移变换

　　2) 伸缩变换

　　3) 对称变换

　　4.区间的概念

　　(1)区间的.分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

　　(2)无穷区间

　　(3)区间的数轴表示.

　　5.映射

　　一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。记作f：A→B

　　6.分段函数

　　(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

　　(2)各部分的自变量的取值情况.

　　(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.

　　补充：复合函数

　　如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

　　二.函数的性质

　　1.函数的单调性(局部性质)

　　(1)增函数

　　设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

　　如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

　　注意：函数的单调性是函数的局部性质;

　　(2) 图象的特点

　　如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

　　(3).函数单调区间与单调性的判定方法

　　(A) 定义法：

　　○1 任取x1，x2∈D，且x1

　　○2 作差f(x1)-f(x2);

　　○3 变形(通常是因式分解和配方);

　　○4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

　　○5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

　　(B)图象法(从图象上看升降)

　　(C)复合函数的单调性

　　复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

　　注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

　　8.函数的奇偶性(整体性质)

　　(1)偶函数

　　一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.

　　(2).奇函数

　　一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.

　　(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

　　偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

　　利用定义判断函数奇偶性的步骤：

　　○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称;

　　○2确定f(-x)与f(x)的关系;

　　○3作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数.

　　(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;

　　(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

　　9、函数的解析表达式

　　(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

　　(2)求函数的解析式的主要方法有：

　　1) 凑配法

　　2) 待定系数法

　　3) 换元法

　　4) 消参法

　　10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

　　○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值

　　○2 利用图象求函数的最大(小)值

　　○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：

　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);

　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

高一数学知识点总结3

　　一.知识归纳：

　　1.集合的有关概念。

　　1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

　　注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

　　②集合中的元素具有确定性(a？a和a？a，二者必居其一)、互异性(若a？a，b？a，则a≠b)和无序性({a，b}与{b，a}表示同一个集合)。

　　③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

　　2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

　　3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

　　4)常用数集：n，z，q，r，n*

　　2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

　　1)子集：若对x∈a都有x∈b，则ab(或ab);

　　2)真子集：ab且存在x0∈b但x0a;记为ab(或，且)

　　3)交集：a∩b={x|x∈a且x∈b}

　　4)并集：a∪b={x|x∈a或x∈b}

　　5)补集：cua={x|xa但x∈u}

　　注意：①？a，若a≠？，则？a;

　　②若，则;

　　③若且，则a=b(等集)

　　3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的.符号：(1)与、？的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。

　　4.有关子集的几个等价关系

　　①a∩b=aab;②a∪b=bab;③abcuacub;

　　④a∩cub=空集cuab;⑤cua∪b=iab。

　　5.交、并集运算的性质

　　①a∩a=a，a∩？=？，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪？=a，a∪b=b∪a;

　　③cu(a∪b)=cua∩cub，cu(a∩b)=cua∪cub;

　　6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

　　二.例题讲解：

　　【例1】已知集合m={x|x=m+，m∈z}，n={x|x=，n∈z}，p={x|x=，p∈z}，则m，n，p满足关系

　　a)m=npb)mn=pc)mnpd)npm

　　分析一：从判断元素的共性与区别入手。

　　解答一：对于集合m：{x|x=，m∈z};对于集合n：{x|x=，n∈z}

　　对于集合p：{x|x=，p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以mn=p，故选b。

　　分析二：简单列举集合中的元素。

　　解答二：m={…，…}，n={…，…}，p={…，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

　　=∈n，∈n，∴mn，又=m，∴mn，=p，∴np又∈n，∴pn，故p=n，所以选b。

　　点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

　　变式：设集合，则(b)

　　a.m=nb.mnc.nmd.

　　解：

　　当时，2k+1是奇数，k+2是整数，选b

　　【例2】定义集合a*b={x|x∈a且xb}，若a={1，3，5，7}，b={2，3，5}，则a*b的子集个数为

　　a)1b)2c)3d)4

　　分析：确定集合a*b子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

　　解答：∵a*b={x|x∈a且xb}，∴a*b={1，7}，有两个元素，故a*b的子集共有22个。选d。

　　变式1：已知非空集合m{1，2，3，4，5}，且若a∈m，则6？a∈m，那么集合m的个数为

　　a)5个b)6个c)7个d)8个

　　变式2：已知{a，b}a{a，b，c，d，e}，求集合a.

　　解：由已知，集合中必须含有元素a，b.

　　集合a可能是{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}.

　　评析本题集合a的个数实为集合{c，d，e}的真子集的个数，所以共有个.

　　【例3】已知集合a={x|x2+px+q=0}，b={x|x2？4x+r=0}，且a∩b={1}，a∪b={？2，1，3}，求实数p，q，r的值。

　　解答：∵a∩b={1}∴1∈b∴12？4×1+r=0，r=3.

　　∴b={x|x2？4x+r=0}={1，3}，∵a∪b={？2，1，3}，？2b，∴？2∈a

　　∵a∩b={1}∴1∈a∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，∴∴

　　变式：已知集合a={x|x2+bx+c=0}，b={x|x2+mx+6=0}，且a∩b={2}，a∪b=b，求实数b，c，m的值.

　　解：∵a∩b={2}∴1∈b∴22+m？2+6=0，m=-5

　　∴b={x|x2-5x+6=0}={2，3}∵a∪b=b∴

　　又∵a∩b={2}∴a={2}∴b=-(2+2)=4，c=2×2=4

　　∴b=-4，c=4，m=-5

　　【例4】已知集合a={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0}，集合b满足：a∪b={x|x>-2}，且a∩b={x|1

　　分析：先化简集合a，然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b，哪些元素不属于b。

　　解答：a={x|-21}。由a∩b={x|1-2}可知[-1，1]b，而(-∞，-2)∩b=ф。

　　综合以上各式有b={x|-1≤x≤5}

　　变式1：若a={x|x3+2x2-8x>0}，b={x|x2+ax+b≤0}，已知a∪b={x|x>-4}，a∩b=φ，求a，b。(答案：a=-2，b=0)

　　点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

　　变式2：设m={x|x2-2x-3=0}，n={x|ax-1=0}，若m∩n=n，求所有满足条件的a的集合。

　　解答：m={-1，3}，∵m∩n=n，∴nm

　　①当时，ax-1=0无解，∴a=0②

　　综①②得：所求集合为{-1，0，}

　　【例5】已知集合，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为q，若p∩q≠φ，求实数a的取值范围。

　　分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用参数分离求解。

　　解答：(1)若，在内有有解

　　令当时，所以a>-4，所以a的取值范围是

　　变式：若关于x的方程有实根，求实数a的取值范围。

　　解答：

　　点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

　　三.随堂演练

　　选择题

　　1.下列八个关系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}

　　⑥0⑦{0}⑧{}其中正确的个数

　　(a)4(b)5(c)6(d)7

　　2.集合{1，2，3}的真子集共有

　　(a)5个(b)6个(c)7个(d)8个

　　3.集合a={x}b={}c={}又则有

　　(a)(a+b)a(b)(a+b)b(c)(a+b)c(d)(a+b)a、b、c任一个

　　4.设a、b是全集u的两个子集，且ab，则下列式子成立的是

　　(a)cuacub(b)cuacub=u

　　(c)acub=(d)cuab=

　　5.已知集合a={}，b={}则a=

　　(a)r(b){}

　　(c){}(d){}

　　6.下列语句：(1)0与{0}表示同一个集合;(2)由1，2，3组成的集合可表示为

　　{1，2，3}或{3，2，1};(3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1，1，2};(4)集合{}是有限集，正确的是

　　(c)只有(2)(d)以上语句都不对

　　7.设s、t是两个非空集合，且st，ts，令x=s那么s∪x=

　　(a)x(b)t(c)φ(d)s

　　8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式，则不等式ax2+bx+c0的解集为

　　(a)r(b)(c){}(d){}

　　填空题

　　9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为

　　10.若a={1，4，x}，b={1，x2}且ab=b，则x=

　　11.若a={x}b={x}，全集u=r，则a=

　　12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是

　　13设集合a={}，b={x}，且ab，则实数k的取值范围是。

　　14.设全集u={x为小于20的非负奇数}，若a(cub)={3，7，15}，(cua)b={13，17，19}，又(cua)(cub)=，则ab=

　　解答题

　　15(8分)已知集合a={a2，a+1，-3}，b={a-3，2a-1，a2+1}，若ab={-3}，求实数a。

　　16(12分)设a=，b=，其中xr，如果ab=b，求实数a的取值范围。

　　四.习题答案

　　选择题

　　12345678

　　ccbcbcdd

　　填空题

　　9.{(x，y)}10.0，11.{x，或x3}12.{}13.{}14.{1，5，9，11}

　　解答题

　　15.a=-1

　　16.提示：a={0，-4}，又ab=b，所以ba

　　(ⅰ)b=时，4(a+1)2-4(a2-1)<0，得a<-1

　　(ⅱ)b={0}或b={-4}时，0得a=-1

　　(ⅲ)b={0，-4}，解得a=1

　　综上所述实数a=1或a-1

高一数学知识点总结4

　　第一章集合与函数概念

　　一、集合有关概念

　　1.集合的含义

　　2.集合的中元素的三个特性：

　　(1)元素的确定性如：世界上最高的山

　　(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N

　　正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

　　1）列举法：{a,b,c}

　　2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合

　　的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

　　3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:

　　4、集合的分类：

　　(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合

　　(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

　　二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集

　　注意：AB有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)

　　实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。AA

　　②真子集:如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作ABA)

　　③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算交集并集补集类型定由所有属于A且属义于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作AB（读由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：ABB(或

　　设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

　　作‘A交B’），即（读作‘A并B’），记作CSA，即AB=｛x|xA，且即AB={x|xA，xB｝．或xB})．CSA={x|xS,且xA}韦恩ABABS图A示图1图2性AA=AAA=A(CuA)(CuB)AΦ=ΦAΦ=AAAA=Cu(AB=BB=BAB)ABAABＡ(CuA)(CuB)质ABBABB=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．

　　例题：

　　1.下列四组对象，能构成集合的是（）

　　A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数2.集合{a，b，c}的真子集共有个

　　3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则M与N的关系是

　　4.设集合A=x1x2，B=xxa，若AB，则a的取值范围是

　　5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

　　6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.

　　7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

　　二、函数的有关概念

　　1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．注意：

　　1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

　　(1)分式的分母不等于零；

　　(2)偶次方根的被开方数不小于零；

　　(3)对数式的真数必须大于零；

　　(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

　　(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，

　　(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21页相关例2)

　　2．值域:先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法

　　(3)代换法

　　3.函数图象知识归纳

　　(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象．C上每一点的.坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上

　　(2)画法A、描点法：B、图象变换法

　　常用变换方法有三种

　　1)平移变换

　　2)伸缩变换

　　3)对称变换

　　4．区间的概念

　　（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

　　（2）无穷区间

　　（3）区间的数轴表示

　　5．映射

　　一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”

　　对于映射f：A→B来说，则应满足：

　　(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数

　　(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况．

　　(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．补充：复合函数

　　如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数。

　　二．函数的性质

　　函数的单调性(局部性质)（1）增函数

　　设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调

　　减区间.

　　注意：函数的单调性是函数的局部性质；

　　（2）图象的特点

　　如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：

　　3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：○

　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；例题：

　　1.求下列函数的定义域：⑴yx2x15x332⑵y1(x1x12)2.设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x2)的定义域为__

　　3.若函数f(x1)的定义域为[2，3]，则函数f(2x1)的定义域是4.函数

　　x2(x1)2，若f(x)3，则xf(x)x(1x2)2x(x2)2=

　　5.求下列函数的值域：

　　⑴yx22x3(xR)⑵yx2x3x[1,2]

　　(3)yx12x(4)y6.已知函数

　　f(x1)x4x，求函数

　　2x4x52f(x)，f(2x1)的解析式

　　7.已知函数f(x)满足2f(x)f(x)3x4，则f(x)=。8.设f(x)是R上的奇函数，且当x[0,)时,

　　f(x)x(13x),则当x(,0)时

　　f(x)=

　　f(x)在R上的解析式为9.求下列函数的单调区间：⑴yx22x3⑵y2x2x3⑶yx6x1

　　210.判断函数yx31的单调性并证明你的结论．

　　211.设函数f(x)1x判断它的奇偶性并且求证：f(1)f(x)．

　　21xx

高一数学知识点总结5

　　一、直线与方程

　　（1）直线的倾斜角

　　定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率

　　①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

　　当0,90时，k0；当90,180时，k0；当90时，k不存在。

　　yy1(x1x2)②过两点的直线的斜率公式：k2x2x1注意下面四点：(1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

　　(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程

　　①点斜式：yy1k(xx1)直线斜率k，且过点x1,y1

　　注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

　　当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

　　②斜截式：ykxb，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：④截矩式：

　　yy1y2y1xayxx1x2x1（x1x2,y1y2）直线两点x1,y1，x2,y2

　　1b其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分别为a,b。

　　⑤一般式：AxByC0（A，B不全为0）

　　1各式的适用范围○2特殊的方程如：注意：○

　　平行于x轴的直线：yb（b为常数）；平行于y轴的直线：xa（a为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系

　　平行于已知直线A0xB0yC00（A0,B0是不全为0的常数）的直线系：

　　A0xB0yC0（C为常数）

　　（二）过定点的直线系

　　（）斜率为k的直线系：yy0kxx0，直线过定点x0,y0；

　　（）过两条直线l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为

　　，其中直线l2不在直线系中。A1xB1yC1A2xB2yC20（为参数）（6）两直线平行与垂直

　　当l1:yk1xb1，l2:yk2xb2时，l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

　　注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点

　　l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交交点坐标即方程组A1xB1yC10的一组解。

　　A2xB2yC20方程组无解l1//l2；方程组有无数解l1与l2重合（8）两点间距离公式：设A(x1,y1)，B是平面直角坐标系中的两个点，（x2,y2）则|AB|(x2x1)2(y2y1)2

　　（9）点到直线距离公式：一点Px0,y0到直线l1:AxByC0的距离d（10）两平行直线距离公式

　　在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

　　Ax0By0CAB22

　　二、圆的方程

　　1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的

　　半径。

　　2、圆的方程

　　（1）标准方程xaybr2，圆心a,b，半径为r；

　　22（2）一般方程x2y2DxEyF0当DE2224F0时，方程表示圆，此时圆心为22D2,1E，半径为r22D2E24F

　　当DE4F0时，表示一个点；当DE4F0时，方程不表示任何图

　　形。

　　（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

　　另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：

　　直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

　　（1）设直线l:AxByC0，圆C:xa2yb2r2，圆心Ca,b到l的距离为

　　dAaBbCAB222，则有drl与C相离；drl与C相切；drl与C相交

　　22（2）设直线l:AxByC0，圆C:xaybr2，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有

　　0l与C相离；0l与C相切；0l与C相交

　　2注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0yy0r去解直线与圆相切的问题，其中x0,y0表示切点坐标，r表示半径。

　　(3)过圆上一点的切线方程：

　　①圆x2+y2=r，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0yy0r(课本命题)．

　　2222

　　②圆(x-a)+(y-b)=r，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r(课本命题的推广)．

　　4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆C1:xa12yb12r2，C2:xa22yb22R2两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当dRr时两圆外离，此时有公切线四条；

　　当dRr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当RrdRr时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当dRr时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当dRr时，两圆内含；当d0时，为同心圆。

　　三、立体几何初步

　　1、柱、锥、台、球的结构特征

　　（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共

　　边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

　　表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDEA"B"C"D"E"或用对角线的端点字母，如五棱柱

　　"AD

　　几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且

　　相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

　　（2）棱锥

　　定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

　　表示：用各顶点字母，如五棱锥PABCDE

　　几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到

　　截面距离与高的比的平方。

　　（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

　　"""""表示：用各顶点字母，如五棱台PABCDE

　　几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

　　几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图

　　是一个矩形。

　　（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何

　　体

　　几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。2、空间几何体的三视图

　　定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）

　　注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

　　侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

　　3、空间几何体的直观图斜二测画法

　　斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

　　②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

　　4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

　　（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

　　（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h为斜高，l为母线）

　　S直棱柱侧面积S正棱台侧面积12chS圆柱侧2rhS正棱锥侧面积(c1c2)h"S圆台侧面积(rR)l

　　12ch"S圆锥侧面积rl

　　S圆柱表2rrlS圆锥表rrlS圆台表r2rlRlR2

　　（3）柱体、锥体、台体的体积公式V柱ShV圆柱ShV台13(S""21rhV锥ShV圆锥1r2h

　　33SSS)hV圆台13(S"SSS)h"13(rrRR)h

　　（4）球体的表面积和体积公式：V球4、空间点、直线、平面的位置关系

　　球面=4R2

　　（1）平面

　　①平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的`；

　　②平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；

　　也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC。

　　③点与平面的关系：点A在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作Al；

　　直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作lα；直线l不在平面α内，记作lα。（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

　　（即直线在平面内，或者平面经过直线）

　　应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内

　　用符号语言表示公理1：Al,Bl,A,Bl（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

　　推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。

　　公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

　　符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

　　符号语言：PABABl,Pl公理3的作用：

　　①它是判定两个平面相交的方法。

　　②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系

　　①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线②异面直线性质：既不平行，又不相交。

　　③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取的，而和点O的位置无关。②求异面直线所成角步骤：

　　A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角

　　（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。（8）空间直线与平面之间的位置关系

　　直线在平面内有无数个公共点．

　　三种位置关系的符号表示：aαa∩α＝Aa∥α

　　（9）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点；α∥β

　　相交有一条公共直线。α∩β＝b

　　5、空间中的平行问题

　　（1）直线与平面平行的判定及其性质

　　线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

　　线线平行线面平行

　　线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，

　　那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行

　　（1）平面与平面平行的判定及其性质两个平面平行的判定定理

　　（2）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

　　（线面平行→面面平行），

　　（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。（线线平行→面面平行），

　　（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，两个平面平行的性质定理

　　（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）7、空间中的垂直问题

　　（1）线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。

　　③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。（2）垂直关系的判定和性质定理①线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。②面面垂直的判定定理和性质定理

　　判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

　　9、空间角问题

　　（1）直线与直线所成的角

　　①两平行直线所成的角：规定为0。

　　②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。③两条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线a,b，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

　　（2）直线和平面所成的角

　　①平面的平行线与平面所成的角：规定为0。②平面的垂线与平面所成的角：规定为90。③平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

　　求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。

　　第6页

　　在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射．．．．．线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

　　两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角④求二面角的方法

　　定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角7、空间直角坐标系

　　（1）定义：如图，OBCDD,A,B,C,是单位正方体.以A为原点，分别以OD,OA,,OB的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.

　　1）O叫做坐标原点2）x轴，y轴，z轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。

　　（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指向为y轴正向，中指指向则为z轴正向，这样也可以决定三轴间的相位置。

　　（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示，有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标）

　　（4）空间两点距离坐标公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

高一数学知识点总结6

　　⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d.

　　⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd.

　　⑶若{a}、{b}为等差数列,则{a±b}与{ka+b}(k、b为非零常数)也是等差数列.

　　⑷对任何m、n,在等差数列{a}中有：a=a+(n-m)d,特别地,当m=1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性.

　　⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且l+k+p+…=m+n+r+…(两边的自然数个数相等),那么当{a}为等差数列时,有：a+a+a+…=a+a+a+….

　　⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd(k为取出项数之差).

　　⑺如果{a}是等差数列,公差为d,那么,a,a,…,a、a也是等差数列,其公差为-d;在等差数列{a}中,a-a=a-a=md.(其中m、k、)

　　⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项.

　　⑼当公差d>0时,等差数列中的数随项数的增大而增大;当d

　　⑽设a,a,a为等差数列中的三项,且a与a,a与a的项距差之比=(≠-1),则a=.

　　⑴数列{a}为等差数列的充要条件是：数列{a}的`前n项和S可以写成S=an+bn的形式(其中a、b为常数).

　　⑵在等差数列{a}中,当项数为2n(nN)时,S-S=nd,=;当项数为(2n-1)(n)时,S-S=a,=.

　　⑶若数列{a}为等差数列,则S,S-S,S-S,…仍然成等差数列,公差为.

　　⑷若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别是S、T(n为奇数),则=.

　　⑸在等差数列{a}中,S=a,S=b(n>m),则S=(a-b).

　　⑹等差数列{a}中,是n的一次函数,且点(n,)均在直线y=x+(a-)上.

　　⑺记等差数列{a}的前n项和为S.①若a>0,公差d0,则当a≤0且a≥0时,S小.

高一数学知识点总结7

　　一：函数及其表示

　　知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等

　　1. 函数与映射的区别：

　　2. 求函数定义域

　　常见的用解析式表示的函数f(x)的定义域可以归纳如下：

　　①当f(x)为整式时，函数的定义域为R.

　　②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。

　　③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。

　　④当f(x)为对数式时，函数的.定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。

　　⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。

　　⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。

　　⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约。

　　3. 求函数值域

　　(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域;

　　(2)、配方法;如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域;

　　(3)、判别式法：

　　(4)、数形结合法;通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域;

　　(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域;

　　(6)、利用函数的单调性;如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域;

　　(7)、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域;

　　(8)、最值法：对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域;

　　(9)、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。

高一数学知识点总结8

　　高一年级数学必修三知识点

　　(1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

　　(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。

　　(3)函数图形都是下凹的。

　　(4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。

　　(5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的.单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

　　(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。

　　(7)函数总是通过(0，1)这点。

　　(8)显然指数函数无_。

　　奇偶性

　　定义

　　一般地，对于函数f(x)

　　(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

　　(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

　　(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

　　(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

　　高一数学必修二重要知识点

　　公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

　　公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

　　公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

　　推论1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

　　推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

　　推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

　　公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

　　等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

　　高一年级数学高效学习方法

　　基础是关键，课本是首选

　　首先，新高一同学要明确的是：高一数学是高中数学的重点基础。刚进入高一，有些学生还不是很适应，如果直接学习高考技巧仿佛是“没学好走就想跑”。任何的技巧都是建立在牢牢的基础知识之上，因此建议高一的学生多抓基础，多看课本。

　　在应试教育中，只有多记公式，掌握解题技巧，熟悉各种题型，把自己变成一个做题机器，才能在考试中取得的成绩。在高考中只会做题是不行的，一定要在会的基础上加个“熟练”才行，小题一般要控制在每个两分钟左右。

　　高一数学的知识掌握较多，高一试题约占高考得分的70%，一学年要学五本书，只要把高一的数学掌握牢靠，高二，高三则只是对高一的复习与补充，所以进入高中后，要尽快适应新环境，上课认真听，多做笔记，一定会学好数学。

　　因此，新高一同学应该在熟记概念的基础上，多做练习，稳扎稳打，只有这样，才能学好数学。

　　一、数学预习

　　预习是学好数学的必要前提，可谓是“火烧赤壁”所需“东风”.总的来说，预习可以分为以下2步。

　　1.预习即将学习的章节的课本知识。在预习课本的过程中，要将课本中的定义、定理记熟，做到活学活用。有是要仔细做课本上的例题以及课后练习，这些基础性的东西往往是最重要的。

　　2.自觉完成自学稿。自学稿是新课改以来欢迎的学习方式!首先应将自学稿上的《预习检测》部分写完，然后想后看题。在刚开始，可能会有一些不会做，记住不要苦心去钻研，那样往往会事倍功半!

　　二、数学听讲

　　听讲是学好数学的重要环节。可以这么说，不听讲，就不会有好成绩。

　　1.在上课时，认真听老师讲课，积极发言。在遇到不懂的问题时，做上标记，课后及时的向老师请教!

　　2.记录往往是一个细小的环节。注意老师重复的语句，以及写在黑板上的大量文字(数学老师一般不多写字)，及时地用一个小本记录下来，这样日积月累，会形成一个知识小册。

高一数学知识点总结9

　　高一数学第一章知识点总结

　　一、集合有关概念

　　1.集合的含义

　　2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性,(2)元素的互异性,(3)元素的无序性,

　　3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

　　(2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

　　1）列举法：{a,b,c……}

　　2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R|x-3>2},{x|x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:

　　4.集合的分类：

　　(1)有限集含有有限个元素的集合

　　(2)无限集含有无限个元素的集合

　　(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x=－5｝

　　二、集合间的基本关系

　　1.“包含”关系子集注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分，（2）A与B是同一集合。

　　2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)

　　实例：设A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的'真子集，记作AB(或BA)③如果A?B,B?C,那么A?C④如果A?B同时B?A那么A=B

　　3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。nn-1有n个元素的集合，含有2个子集，2个真子集

　　例题：1.下列四组对象，能构成集合的是下列四组对象（）A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数

　　2.集合{a，b，c}的真子集共有2个

　　3.若集合M={y|y=x-2x+1,x∈R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是

高一数学知识点总结10

　　【公式一】

　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

　　cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

　　tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

　　cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

　　【公式二】

　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π+α)=-sinα

　　cos(π+α)=-cosα

　　tan(π+α)=tanα

　　cot(π+α)=cotα

　　【公式三】

　　任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

　　sin(-α)=-sinα

　　cos(-α)=cosα

　　tan(-α)=-tanα

　　cot(-α)=-cotα

　　【公式四】

　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π-α)=sinα

　　cos(π-α)=-cosα

　　tan(π-α)=-tanα

　　cot(π-α)=-cotα

　　【公式五】

　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(2π-α)=-sinα

　　cos(2π-α)=cosα

　　tan(2π-α)=-tanα

　　cot(2π-α)=-cotα

　　【公式六】

　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π/2+α)=cosα

　　cos(π/2+α)=-sinα

　　tan(π/2+α)=-cotα

　　cot(π/2+α)=-tanα

　　sin(π/2-α)=cosα

　　cos(π/2-α)=sinα

　　tan(π/2-α)=cotα

　　cot(π/2-α)=tanα

　　sin(3π/2+α)=-cosα

　　cos(3π/2+α)=sinα

　　tan(3π/2+α)=-cotα

　　cot(3π/2+α)=-tanα

　　sin(3π/2-α)=-cosα

　　cos(3π/2-α)=-sinα

　　tan(3π/2-α)=cotα

　　cot(3π/2-α)=tanα

　　(以上k∈Z)

　　【高一数学函数复习资料】

　　一、定义与定义式：

　　自变量x和因变量y有如下关系：

　　y=kx+b

　　则此时称y是x的一次函数。

　　特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

　　即：y=kx(k为常数，k≠0)

　　二、一次函数的性质：

　　的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

　　即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)

　　当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

　　三、一次函数的图像及性质：

　　作法与图形：通过如下3个步骤

　　(1)列表;

　　(2)描点;

　　(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

　　性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

　　，b与函数图像所在象限：

　　当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的`增大而增大;

　　当k

　　当b>0时，直线必通过一、二象限;

　　当b=0时，直线通过原点

　　当b

　　特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

　　这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k

　　四、确定一次函数的表达式：

　　已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

　　(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

　　(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

　　(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。

　　(4)最后得到一次函数的表达式。

　　五、一次函数在生活中的应用：

　　当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

　　当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

　　六、常用公式：(不全，希望有人补充)

　　求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

　　求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

　　求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

　　求任意线段的长：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2(注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)

高一数学知识点总结11

　　棱锥

　　棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥

　　棱锥的的性质：

　　(1)侧棱交于一点。侧面都是三角形

　　(2)平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

　　正棱锥

　　正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

　　正棱锥的.性质：

　　(1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

　　(3)多个特殊的直角三角形

　　esp：

　　a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

　　b、四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。

高一数学知识点总结12

　　函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域。（2）。应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。

　　函数图象知识归纳：

　　（1）定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f（x），（x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x），（x∈A）的图象。

　　C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上。即记为C={P（x，y）|y=f（x），x∈A}

　　图象C一般的是一条光滑的连续曲线（或直线），也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

　　（2）画法

　　A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x，y的一些对应值并列表，以（x，y）为坐标在坐标系内描出相应的点P（x，y），最后用平滑的曲线将这些点连接起来。

　　B、图象变换法（请参考必修4三角函数）

　　常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换

　　（3）作用：

　　1、直观的看出函数的性质；

　　2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。

　　3、发现解题中的错误。

　　2、快去了解区间的概念

　　（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

　　（2）无穷区间；

　　（3）区间的数轴表示。

　　什么叫做映射

　　一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”

　　给定一个集合A到B的映射，如果a∈A，b∈B。且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

　　说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应：

　　①集合A、B及对应法则f是确定的；

　　②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；

　　③对于映射f：A→B来说，则应满足：

　　（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

　　（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

　　（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

　　常用的函数表示法及各自的优点：

　　函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2解析法：必须注明函数的定义域；3图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。

　　注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

　　补充一：分段函数（参见课本P24—25）

　　在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的'解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况。

　　（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

　　（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。

　　补充二：复合函数

　　如果y=f（u），（u∈M），u=g（x），（x∈A），则y=f[g（x）]=F（x），（x∈A）称为f、g的复合函数。

　　例如：y=2sinXy=2cos（X2+1）

　　函数单调性

　　（1）增函数

　　设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

　　如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

　　注意：

　　1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

　　2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

　　（2）图象的特点

　　如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的

　　（3）。函数单调区间与单调性的判定方法

　　（A）定义法：

　　任取x1，x2∈D，且x1

　　（B）图象法（从图象上看升降）

　　（C）复合函数的单调性

　　复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律如下：

　　函数

　　单调性

　　u=g（x）

　　增

　　减

　　y=f（u）

　　增

　　减

　　增

　　减

　　y=f[g（x）]

　　增

　　减

　　增

　　注意：

　　1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集。

　　2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？

　　函数的奇偶性

　　（1）偶函数

　　一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（—x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数。

　　（2）奇函数

　　一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（—x）=—f（x），那么f（x）就叫做奇函数。

　　注意：

　　1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性，也可能既是奇函数又是偶函数。

　　2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则—x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

　　（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

　　偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称。

　　总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

　　1、首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

　　2、确定f（—x）与f（x）的关系；

　　3、作出相应结论：若f（—x）=f（x）或f（—x）—f（x）=0，则f（x）是偶函数；若f（—x）=—f（x）或f（—x）+f（x）=0，则f（x）是奇函数。

高一数学知识点总结13

　　1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有asinbsincsinC2R．

　　2、正弦定理的变形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④a2R，sinb2R，sinCabsinc2R；③a:b:csin:sin:sinC；csinCabcsinsinsinCsin．（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：当无交点则B无解、当有一个交点则B有一解、当有两个交点则B有两个解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：当a但不能到达，在岸边选取相距3千米的C、D两点，并测得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。本题解答过程略附：三角形的五个“心”；重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.

　　7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．

　　8、数列的项：数列中的每一个数．

　　9、有穷数列：项数有限的数列．

　　10、无穷数列：项数无限的数列．

　　11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+1>an）．

　　12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+1④nana1d1；⑤danamnm．

　　21、若an是等差数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是等差数列，且2npq（n、p、q），则2anapaq．

　　22、等差数列的前n项和的公式：①Snna1an2；②Snna1nn12d．③sna1a2an

　　23、等差数列的前n项和的性质：①若项数为2nn，则S2nnanan1，且S偶S奇nd，S奇S偶anan1．S奇S偶nn1②若项数为2n1n，则S2n12n1an，且S奇S偶an，S偶n1an）（其中S奇nan，

　　24、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：an1anq（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上的值同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：　2①anan1q(n2,q为常数,且0)②anan1an1(n2，anan1an10)③ancqn(c,q为非零常数).④正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x1）成等比数列.

　　25、在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，则G称为a与b的等比中项．若Gab，22则称G为a与b的等比中项．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）2n1

　　26、若等比数列an的首项是a1，公比是q，则ana1q．

　　27、通项公式的变形：①anamqnm；②a1anqn1；③qn1ana1；④qnmanam．

　　28、若an是等比数列，且mnpq（m、n、p、q），则amanapaq；若an是等比数列，且2npq（n、p、q），则anapaq．na1q1

　　29、等比数列an的前n项和的公式：①Sna1qnaaq．②sn1n1q11q1q2a1a2an

　　30、对任意的数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：ans1a1(n1)snsn1(n2)

　　[注]：①ana1n1dnda1d（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{an}前n项和Sndddd22AnBnna1n→222可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若为零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.

　　③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）．．附：几种常见的数列的思想方法：⑴等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法：

　　d2n2一是求使an0,an10，成立的`n值；二是由Sn数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列等差数列等比数列数列等差数列前n项和公式通项公式(a1d2)n利用二次函数的性质求n的值.

　　对应函数（时为一次函数）（指数型函数）对应函数（时为二次函数）等比数列（指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

　　例题：1、等差数列分析：因为中，，则.是等差数列，所以是关于n的一次函数，一次函数图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,)三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如上），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。

　　例题：2、等差数列中，，前n项和为，若，n为何值时最大？

　　分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，是抛物线=上的离散点，根据题意，，则因为欲求最大。最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，

　　例题：3递增数列，对任意正整数n，递增得到：恒成立，设恒成立，求恒成立，即，则只需求出。，因为是递的最大值即

　　分析：构造一次函数，由数列恒成立，所以可，显然有最大值对一切对于一切，所以看成函数的取值范围是：构造二次函数，，它的定义域是增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴的左侧在也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，，得⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：112,314,...(2n1)12n,...⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

　　2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证anan1(anan1)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证

　　2an1anan2(an1anan2)nN都成立。2am03.在等差数列｛an｝中,有关Sn的最值问题：(1)当a1>0,d把①式两边同乘2后得2sn=122232n2234n1②

　　用①-②，即：123nsn=122232n2①2sn=122232n2234n1②得sn12222n22(12)12n1n23nn1n2n122n2n1n1(1n)22∴sn(n1)2n12

　　4.倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5.常用结论1）:1+2+3+...+n=n(n1)2212）1+3+5+...+(2n-1)=n3）12nn(n1)2223334）123n22216n(n1)(2n1)5）

　　1n(n1)1n1n11n(n2)1pq111()2nn21qp1p1q6）()(pq)

　　31、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

　　32、不等式的性质：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；nd0acabdb0a⑥；⑦⑧ab0nnbn,n1；anbn,n1．

　　33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．

　　34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式（高次不等式）的解法

　　穿根法（零点分段法）求解不等式：a0xa1xnn1a2xn2an0(0)(a00)

　　解法：①将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“

　　由图可看出不等式x23x26x80的解集为：

　　x|2x1,或x4

　　(x1)(x2)(x5)(x6)(x4)0的解集。

　　例题：求解不等式

　　解：略

　　一元二次不等式的求解：

　　特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；

　　②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.

　　二次函数yax22

　　000bxc有两相异实根x1,x2(x1x2)（a0）的图象一元二次方程ax2有两相等实根x1x2b2abxc0a0的根2无实根Raxbxc0(a0)的解集axbxc0(a0)的解集2xxx或xx12bxx2axx1xx2对于a0(或

　　f(x)g(x)（2）转化为整式不等式（组）

　　1xf(x)g(x)0f(x)g(x)0;f(x)g(x)00g(x)0g(x)

　　f(x)例题：求解不等式：解：略例题：求不等式

　　xx11

　　1的解集。

　　3.含绝对值不等式的解法：基本形式：

　　①型如：|x|＜a(a＞0)的不等式的解集为：x|axa②型如：|x|＞a(a＞0)的不等式的解集为：x|xa,或xa变型：

　　其中-c3x23x23x2(x2)(x3)10xR③当x2时，（去绝对值符号）原不等式化为：x2x292x9(x2)(x3)102x2由①②③得原不等式的解集为：x|112x9（注：是把①②③的解集并在一起）2y函数图像法：

　　令f(x)|x2||x3|

　　2x1(x3)则有：f(x)5(3x2)

　　2x1(x2)f(x)=1051123o292x在直角坐标系中作出此分段函数及f(x)10的图像如图11292由图像可知原不等式的解集为：x|x4.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析：y设ax2+bx+c=0的两根为、，f(x)=ax2+bx+c,那么：0①若两根都大于0，即0,0，则有0

　　0o对称轴x=b2ax

　　0b0②若两根都小于0，即0,0，则有2af(0)0y

　　对称轴x=b2aox

　　③若两根有一根小于0一根大于0，即0，则有f(0)0

　　④若两根在两实数m,n之间，即mn，

　　0bnm则有2af(m)0of(n)0yoxymX=b2anx⑤若两个根在三个实数之间，即mtn，

　　yf(m)0则有f(t)0

　　f(n)0

　　常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数

　　例如：若方程x2(m1)xm2m30有两个正实数根，求m的取值范围。

　　4(m1)24(m22m3)00m1m1m3解：由①型得02(m1)00m1,或m32m2m3022omX=tb2anx所以方程有两个正实数根时，m3。

　　又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范围。

　　55220m(1)4(m1)02解：因为有两个不同的根，所以由21m122f(1)011m101m122

　　35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式．

　　36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．

　　37、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x,y，所有这样的有序数对x,y构成的集合．

　　38、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0，坐标平面内的点x0,y0．①若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的上方．②若0，x0y0C0，则点x0,y0在直线xyC0的下方．

　　39、在平面直角坐标系中，已知直线xyC0．（一）由B确定：①若0，则xyC0表示直线xyC0上方的区域；xyC0表示直线xyC0下方的区域．

　　②若0，则xyC0表示直线xyC0下方的区域；xyC0表示直线　xyC0上方的区域．

　　（二）由A的符号来确定：先把x的系数A化为正后，看不等号方向：①若是“>”号，则xyC0所表示的区域为直线l:xyC0的右边部分。②若是“线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件的解x,y．可行域：所有可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

　　41、设a、b是两个正数，则ab2称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．ab2ab．

　　42、均值不等式定理：若a0，b0，则ab2ab，即

　　43、常用的基本不等式：①ab2aba,bR；②ab222ab222a,bR；③abab2a0,b0；2④ab222ab2a,bR．

　　44、极值定理：设x、y都为正数，则有：

　　⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值s42．⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2例题：已知x解：∵x5454p．14x5，求函数f(x)4x2的最大值。

　　，∴4x50由原式可以化为：f(x)4x55214x5(54x)154x3[(54x)154x]3(54x)154x3132当54x154x2，即(54x)1x1，或x32(舍去）时取到“=”号也就是说当x1时有f(x)max2

高一数学知识点总结14

　　集合间的基本关系

　　1.“包含”关系—子集

　　注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

　　2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

　　实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

　　结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

　　A?① 任何一个集合是它本身的子集。A

　　B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)?B,且A?②真子集:如果A

　　C?C ,那么 A?B, B?③如果 A

　　A 那么A=B?B 同时 B?④ 如果A

　　3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

　　规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　集合的.运算

　　1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.

　　记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.

　　2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.

　　3、交集与并集的性质：A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

　　4、全集与补集

　　(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即 )，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)

　　A}?S且 x? x?记作： CSA 即 CSA ={x

　　(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

　　(3)性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

高一数学知识点总结15

　　1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从函数A到函数B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

　　注意：

　　函数定义域：能使函数式有意义的实数x的函数称为函数的定义域。

　　求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

　　(1)分式的分母不等于零;

　　(2)偶次方根的被开方数不小于零;

　　(3)对数式的真数必须大于零;

　　(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

　　(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的函数.

　　(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

　　?相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)

　　2.高中数学函数值域:先考虑其定义域

　　(1)观察法

　　(2)配方法

　　(3)代换法

　　3.函数图象知识归纳

　　(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的'函数C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.

　　(2)画法

　　A、描点法：

　　B、图象变换法

　　常用变换方法有三种

　　(1)平移变换

　　(2)伸缩变换

　　(3)对称变换

　　4.高中数学函数区间的概念

　　(1)函数区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

　　(2)无穷区间

　　5.映射

　　一般地，设A、B是两个非空的函数，如果按某一个确定的对应法则f，使对于函数A中的任意一个元素x，在函数B中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从函数A到函数B的一个映射。记作“f(对应关系)：A(原象)B(象)”